马尔可夫不等式

在概率论中，马尔可夫不等式（英语：Markov's inequality）给出了随机变量的函数大于等于某正数的概率的上界。虽然它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，但该不等式曾出现在一些更早的文献中，其中包括马尔可夫的老师——切比雪夫。

马尔可夫不等式提供了${\displaystyle f(x)}$超过某特定数值${\displaystyle \epsilon }$（图中标示红色线处）机率的上界，其上界包括了特定数值${\displaystyle \epsilon }$及${\displaystyle f}$的平均值

马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量的累积分布函数一个宽泛但仍有用的界。

马尔可夫不等式的一个应用是，不超过1/5的人口会有超过5倍于人均收入的收入。

表达式

X为一非负随机变量，则

${\displaystyle \mathrm {P} (X\geq a)\leq {\frac {\mathrm {E} (X)}{a}}.}$^[1]

若用测度领域的术语来表示，马尔可夫不等式可表示为若(X, Σ, μ)是一个测度空间，ƒ为可测的扩展实数的函数，且${\displaystyle \epsilon \geq 0}$，则

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}|f|\,d\mu .}$

有时上述的不等式会被称为切比雪夫不等式^[2]。

对于单调增加函数的扩展版本

若φ是定义在非负实数上的单调增加函数，且其值非负，X是一个随机变量，a ≥ 0，且φ(a) > 0，则

${\displaystyle \mathbb {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}$

证明

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {E}}(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\\&=\int _{0}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }af(x)dx\\[6pt]&=a\int _{a}^{\infty }f(x)dx\\[6pt]&=a{\textrm {P}}(X\geqslant a).\end{aligned}}}$

用来推导柴比雪夫不等式

切比雪夫不等式使用变异数来作为一随机变数超过平均值机率的上限，可以用下式表示：

${\displaystyle \Pr(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}},}$

对任意a>0，Var(X)为X的变异数，定义如下：

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].}$

若以马尔可夫不等式为基础，切比雪夫不等式可视为考虑以下随机变量

${\displaystyle (X-\operatorname {E} (X))^{2}}$

根据马尔可夫不等式，可得到以下的结果

${\displaystyle \Pr((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},}$

矩阵形式的马可夫不等式

令${\displaystyle M\succeq 0}$为自共轭矩阵形式的随机变数，且${\displaystyle a>0}$，则

${\displaystyle \Pr(M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\mathrm {tr} \left(E(M)\right)}{a}}.}$

应用实例

• 马尔可夫不等式可用来证明切比雪夫不等式。
• 马尔可夫不等式可用来证明一个非负的随机变数，其平均值${\displaystyle \mu }$和中位数${\displaystyle m}$满足${\displaystyle m\leq 2\mu }$的关系。

参见

• 切比雪夫不等式