黄金菱形

在几何学中，黄金菱形是指两对角线长度的比值呈黄金比例的菱形^[1]：

${\displaystyle {D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034}$

黄金菱形

其中${\displaystyle D}$为长对角线的长度、${\displaystyle d}$为短对角线的长度。而由黄金矩形中取到的伐里农平行四边形皆为黄金菱形。^[1] 有数种知名的多面体皆由黄金菱形组成，例如比林斯基十二面体（英语：Bilinski_dodecahedron）^[2][3]、菱形三十面体^[4]等。特别地，有另一种菱形也与黄金比例相关联，即潘洛斯镶嵌（英语：Penrose_tiling）中的菱形，但不同之处在于，潘洛斯镶嵌（英语：Penrose_tiling）中的菱形是边长与对角线的比为黄金比例，而黄金菱形则是指两对角线比值为黄金比例的菱形。^[5]

性质

主条目：菱形

黄金菱形是菱形中的一个特例，其基本性质与菱形相同。以下讨论黄金菱形的特别性质。

内角

黄金菱形的内角为^[6]：

• 锐角：${\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}$ ;

${\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.}$

• 钝角：${\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },}$

这个角度值与正十二面体相同^[7]

边长与对角线长

由于菱形也是一种平行四边形^[8]，因此黄金菱形的边长与对角线长可以用平行四边形恒等式得出^[9]：

黄金菱形的边长${\displaystyle a}$与对角线长${\displaystyle d}$具有以下关系：

• ${\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~}$

因此，可以用${\displaystyle a}$来表示长对角线${\displaystyle D}$与短对角线${\displaystyle d}$：^[6]

• ${\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.}$
• ${\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.}$

面积

已知短对角线长${\displaystyle d}$时，黄金菱形的的面积为^[10]：

${\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.}$

已知边长为${\displaystyle a}$时，黄金菱形的的面积为^[6][10]：

${\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.}$

在多面体中

黄金菱形出现在许多高对称性的多面体中，例如菱形三十面体（截半二十面体的对偶多面体）^[4]、菱形六十面体（菱形三十面体的星形化体）^[11]。黄金菱形也构成了许多知名的多面体，例如黄金菱形六面体（英语：Golden rhombohedra）、比林斯基十二面体（英语：Bilinski dodecahedron）和菱形二十面体等。由全部皆由黄金菱形组成的凸多面体仅有两种黄金菱形六面体、比林斯基十二面体、菱形二十面体以及菱形三十面体五种。而不考虑凹凸性（即允许非凸多面体），则有无限多种多面体可以包含黄金菱形^[12]。

• 
  锐角黄金菱形六面体（英语：Golden rhombohedra）
• 
  钝角黄金菱形六面体
• 
  比林斯基十二面体（英语：Bilinski dodecahedron）
• 
  菱形二十面体
• 
  菱形三十面体
• 
  菱形六十面体

参见

• 黄金三角形