黎纳-维谢势

在电动力学里，黎纳-维谢势指的是移动中的带电粒子的推迟势。从马克士威方程组，可以推导出黎纳-维谢势；而从黎纳-维谢势，又可以推导出一个移动中的带电粒子所生成的含时电磁场。但是，黎纳-维谢势不能描述微观系统的量子行为。

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“${\displaystyle '\,\!}$”；源变数的标记的后面有单撇号“${\displaystyle '\,\!}$”。

埃米尔·维舍特

阿弗雷-玛丽·黎纳（英语：Alfred-Marie Liénard）于1898年，埃米尔·维舍特于1900年，分别独立地研究求得黎纳-维谢势的公式^[1][2]。于1995年，Ribarič和Šušteršič正确计算出移动中的偶极子和四极子的推迟势^[3]。

历史重要性

经典电动力学的研究，关键地助导阿尔伯特·爱因斯坦发展出相对论。爱因斯坦细心地分析黎纳-维谢势和电磁波传播，所累积的心得，引领他想出在狭义相对论里对于时间和空间的概念。经典电动力学表述是一个重要的发射台，使得物理学家能够飞航至更复杂的相对论性粒子运动的学术领域。

虽然经典电动力学表述的黎纳-维谢势，可以很准确地描述，独立移动中的带电粒子的物理行为，但是在原子层次，这表述遭到严峻的考验，无法给出正确地答案。为此缘故，物理学家感到异常困惑，因而引发了量子力学的创立。

对于粒子发射电磁辐射的能力，量子力学又添加了许多新限制。经典电动力学表述，表达于黎纳-维谢势的方程式，明显地违背了实验观测到的现象。例如，经典电动力学表述所预测的，环绕著原子不停运动的电子，由于连续不断地呈加速度状态，应该会不停地发射电磁辐射；但是，实际实验观测到的现象是，稳定的原子不会发射任何电磁辐射。经过研究论证，物理学家发现，电磁辐射的发射完全源自于电子轨域的离散能级的跃迁（参阅波耳原子）。在二十世纪后期，经过多年的改进与突破，量子电动力学成功地解释了带电粒子的放射行为。

物理理论

带电粒子的移动轨道。

假设，从源头位置${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$往检验位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间${\displaystyle t\,\!}$抵达观测者的检验位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$，则这束电磁波发射的时间是推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间${\displaystyle t\,\!}$，会不同于这电磁波发射的推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$。推迟时间 ${\displaystyle t_{r}\,\!}$定义为检验时间${\displaystyle t\,\!}$减去电磁波传播的时间：

${\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle c\,\!}$是光速。

推迟时间的概念意味著电磁波的传播不是瞬时的。电磁波从发射位置传播到终点位置，需要一段传播期间，称为时间延迟。与日常生活的速度来比，电磁波传播的速度相当快。因此，对于小尺寸系统，这时间延迟，通常很难察觉。例如，从开启电灯泡到这电灯泡的光波抵达到观测者的双眼，所经过的时间延迟，只有几兆分之一秒。但是，对于大尺寸系统，像太阳照射阳光到地球，时间延迟大约为8分钟，可以经过实验侦测察觉。

表达方程式

假设，一个移动中的带电粒子，所带电荷为${\displaystyle q\,\!}$，随著时间${\displaystyle t\,\!}$而改变的运动轨道为${\displaystyle \mathbf {w} (t)\,\!}$。设定向量${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\,\!}$为从带电粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t)\,\!}$到检验位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$的分离向量：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {w} (t)\,\!}$。

则黎纳-维谢纯量势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$和黎纳-维谢向量势${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$分别以方程式表达为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是真空电容率，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$是带电粒子的移动速度，${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {w} }{dt}}\,\!}$。

虽然黎纳-维谢纯量势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$和黎纳-维谢向量势${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$的时间参数是${\displaystyle t\,\!}$，方程式右手边的几个变数，带电粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$和速度${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$都是采推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$时的数值：

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (t_{r})\,\!}$。

推导

从推迟势，可以推导出黎纳-维谢势。推迟纯量势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$与推迟向量势${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$分别以方程式定义为（参阅推迟势）

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$；

其中，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$和${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$分别是推迟时刻的电荷密度和电流密度，${\displaystyle {\mathcal {V}}'\,\!}$是积分的体空间，${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$是微小体元素，${\displaystyle {\mathfrak {R}}\,\!}$向量还是采推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$时的数值。

带电粒子运动轨道的电荷密度可以用狄拉克δ函数表达为

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,\,t)=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$是狄拉克δ函数。

代入推迟纯量势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$的方程式，

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$。

由于狄拉克δ函数${\displaystyle \delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,\!}$的积分会从${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$的可能值中，挑选出当${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$时，所有变数的数值。所以，在积分内的变数，都可以被提出积分，采推迟时间${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$时所计算出的数值。积分内，只剩下狄拉克δ函数等待进一步处理：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$。

由于推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$跟三个变数${\displaystyle t\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$有关，这积分比较难计算，需要使用换元积分法^[4]。设定变数${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$。那么，其雅可比行列式${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$为

${\displaystyle {\mathfrak {J}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {\eta }}}{\partial \mathbf {r} '}}={\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial z'}}\\\end{vmatrix}}\,\!}$。

行列式内分量很容易计算，例如：

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=1-v_{x}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$、

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=v_{y}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$。

按照上述方法，经过一番计算，可以得到

${\displaystyle {\mathfrak {J}}=1-\mathbf {v} \cdot \nabla 't_{r}=1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c\,\!}$。

所以，推迟纯量势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$的方程式变为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta ({\boldsymbol {\eta }}){\cfrac {\partial \mathbf {r} '}{\partial {\boldsymbol {\eta }}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{\mathfrak {J}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}\,\!}$。

这样，可以得到黎纳-维谢纯量势：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$。

类似地，也可以推导出黎纳-维谢向量势。

相对论性导引

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出黎纳-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作${\displaystyle S^{\prime }}$。在${\displaystyle S^{\prime }}$系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。^[5][6]:165ff

${\displaystyle \phi '={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$、

${\displaystyle A'=0}$。

标势和矢势从${\displaystyle S^{\prime }}$系到${\displaystyle S}$系的变换满足洛仑兹变换：

${\displaystyle \phi =\gamma (\phi '-c\beta A')}$、

${\displaystyle A=\gamma (-A'+\beta \phi '/c)}$；

其中，${\displaystyle \gamma }$是洛仑兹因子，${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$。

代入后可以得到：

${\displaystyle \phi ={\frac {\gamma q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$、

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\frac {\gamma q{\boldsymbol {\beta }}}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'c}}}$。

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$和${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$的变换关系也由洛仑兹变换给出：

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'=c\Delta t'=c\gamma (\Delta t-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}/c)=\gamma ({\mathfrak {R}}-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}})}$

将${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$的表达式代入即得到黎纳-维谢势。

物理意义

对于固定不动的带电粒子，电势的方程式为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q}{\mathfrak {R}}}\,\!}$。

这是黎纳-维谢纯量势乘以雅可比行列式因子${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$。追根究柢，原因是移动中的带电粒子，虽然理论上是点粒子，但是由于它是在移动中，在积分里所占有的体积显得比较大，所带的电荷因此比较多，所以产生的电势不同。这也可以看作是一种多普勒效应。^[5]

移动中的带电粒子的电磁场

从黎纳-维谢势，可以计算电场${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$和磁场${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$：

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!}$。

求得的电场${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$和磁场${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$分别为^[7]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\cfrac {\mathfrak {R}}{({\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {u} )^{3}}}[(c^{2}-v^{2})\mathbf {u} +{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\times (\mathbf {u} \times \mathbf {a} )]\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ ;

其中，向量${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$设定为${\displaystyle c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}-\mathbf {v} \,\!}$，带电粒子的加速度是${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,\!}$。

检查电场${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$的方程式，右边第一项称为广义库仑场，又称为速度场，因为这项目与加速度无关。当${\displaystyle v\ll c\,\!}$，粒子速度超小于光速时，${\displaystyle \mathbf {u} \to c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\,\!}$，这项目会趋向库仑方程式：

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\,\!}$。

右边第二项称为辐射场，又称为加速度场，因为这项目的物理行为主要是由粒子的加速度决定。这个项目能够描述电磁辐射的生成程序。

参阅

• 电磁波方程式
• 非齐次的电磁波方程式
• 杰斐缅柯方程式
• 拉莫方程式
• 阿布拉罕-劳仑兹力
• 电磁场的数学表述