3x + 1半群

在代数学中，3x + 1半群是所有正有理数形成的乘法半群中一个特殊的子半群。^[1]这个半群生成集里的元素和尚未解决的考拉兹猜想中涉及的数列有关。

3x + 1半群曾经被用以证明考拉兹猜想一个较弱的形式。事实上正是因为如此，H. Farkas才会在2005年提出这个概念。^[2]

3x + 1半群大部分的推广形式都已被构造并研究过了。^[3]

定义

3x + 1半群是一个由正有理数形成的乘法半群，并由集合

${\displaystyle \{2\}\cup \left\{{\frac {2k+1}{3k+2}}:k\geq 0\right\}=\left\{2,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {5}{8}},{\frac {7}{11}},\ldots \right\}}$

生成。

函数T : Z → Z被定义为考拉兹猜想的简化版本：

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{如 果 }}n{\text{ 是 偶 數 }}\\[4px]{\frac {3n+1}{2}}&{\text{如 果 }}n{\text{ 是 奇 數 }}\end{cases}}}$

考拉兹猜想断言对每个正整数n，总是可以透过重复迭代T的方式将n映射到1。换句话说，总是存在一个整数k使得T^(k)(n) = 1。

举例来说：若n = 7，则对k = 1, 2, 3,...，T^(k)(n)的值就是11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1，当中T⁽¹¹⁾(7) = 1。

3x + 1半群和考拉兹猜想的关联在于，3x + 1半群也能由集合

${\displaystyle \left\{{\dfrac {n}{T(n)}}:n>0\right\}}$

生成。

弱考拉兹猜想

弱考拉兹猜想断言，3x + 1半群包含了所有的正整数。

这个猜想由Farkas提出，并因为3x + 1半群本身的性质（如下）而被证明为真：^[1]

若b ≠ 0 (mod 3)，则3x + 1半群等价于正有理数a/b的集合。特别的，3x + 1半群也会包含所有正整数。

野蛮半群

由集合

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}\right\}\cup \left\{{\frac {3k+2}{2k+1}}:k\geq 0\right\},}$

或集合

${\displaystyle \left\{{\frac {T(n)}{n}}:n>0\right\},}$

生成的半群称作野蛮半群。野蛮半群里的整数m皆满足m ≠ 0 (mod 3)。^[4]

相关条目

• 野蛮数（英语：Wild number）