Kalman–Yakubovich–Popov引理

Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是系统分析及控制理论的结果，其中提到：给定一数${\displaystyle \gamma >0}$，二个n维向量B, C，及n x n的赫维兹稳定矩阵 A（所有特征值的实部都为负值），若${\displaystyle (A,B)}$具有完全可控制性，则满足下式的对称矩阵P和向量Q

${\displaystyle A^{T}P+PA=-QQ^{T}}$

${\displaystyle PB-C={\sqrt {\gamma }}Q}$

存在的充份必要条件是

${\displaystyle \gamma +2Re[C^{T}(j\omega I-A)^{-1}B]\geq 0}$

而且，集合${\displaystyle \{x:x^{T}Px=0\}}$是${\displaystyle (C,A)}$的不可观测子空间。

此引理可以视为是稳定性理论李亚普诺夫方程的推广。建构了由状态空间A, B, C建构的线性矩阵不等式以及其频域条件的关系。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由Vladimir Andreevich Yakubovich（英语：Vladimir Andreevich Yakubovich）写出且证明^[1]，当时列的是严格的频率不等式。允许等于的不等式是由鲁道夫·卡尔曼在1963年提出^[2]。在该文中也建立了Lur'e方程可解性的关系。两篇都是针对纯量输入系统。其控制维度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放宽的^[3]，而Vasile M. Popov（英语：Vasile Mihai Popov）也独立得到相同结论^[4]。在^[5]中有针对此一主题的广泛探讨。

多变数Kalman–Yakubovich–Popov引理

给定${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},M=M^{T}\in \mathbb {R} ^{(n+m)\times (n+m)}}$，其中 ${\displaystyle \det(j\omega I-A)\neq 0}$针对所有${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$，且${\displaystyle (A,B)}$有可控制性，则以下的叙述是等价的：

1. 针对所有${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

   ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]^{*}M\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]\leq 0}$

2. 存在一矩阵${\displaystyle P\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$使得${\displaystyle P=P^{T}}$且

   ${\displaystyle M+\left[{\begin{matrix}A^{T}P+PA&PB\\B^{T}P&0\end{matrix}}\right]\leq 0.}$

即使${\displaystyle (A,B)}$不具有可控制性，对应上式的严格不等式仍成立^[6]。