Rips machine

在几何群论中，Rips machine是研究R-树上的群作用的一个方法。这是Eliyahu Rips于1991年左右在未发表的工作中引入的。

一个R-树是唯一地弧连通的度量空间，内里每条弧都与一个实区间等距。Rips证明了Morgan & Shalen (1991)的猜想，就是每个自由作用在R-树上的有限生成群都是自由阿贝尔群和曲面群的自由积(Bestvina & Feighn 1995)。

曲面群在R-树上的作用

根据Bass–Serre理论，一个自由作用在单纯树上的群是自由的。这结果对R-树不成立：Morgan & Shalen (1991) 证明了欧拉示性数小于-1的曲面的基本群也自由作用在R-树上。他们证明了一个连通闭曲面S的基本群在R-树上自由作用，当且仅当S不是欧拉示性数≥-1的三个不可定向曲面之一。

应用

对一个有限生成群G的一个稳定等距作用，Rips machine赋予一个“正规形式”的近似，即G在一个单纯树上的稳定作用，因此有Bass–Serre理论所指的G的一个分裂。几何拓扑学中有数种情况，会自然地遇到在R-树上的群作用：如在泰赫米勒空间的边界点^[1]（泰赫米勒空间的瑟斯顿边界上的每个点，都表示为曲面上的一个measured geodesic lamination，这个lamination提升到曲面的泛覆盖，这个提升的一个自然对偶对象是一个R-树，带有曲面的基本群的等距作用），克莱因群作用经适当地重标后的格罗莫夫-豪斯多夫极限，^[2][3]等等。使用${\displaystyle \mathbb {R} }$-树的这个machine，大幅缩短了哈肯3-流形的瑟斯顿双曲化定理的现代证明。^[3][4]R-树担当关键角色的还有Culler-Vogtmann外空间的研究，^[5][6]，及几何群论的其他领域；例如群的渐近锥面常常有像树的结构，生出了R-树上的群作用。^[7][8]R-树和Bass–Serre理论是Sela工作的关键工具，以解决（无扭）字双曲群的同构问题，建立Sela版本的JSJ-分解理论，对自由群的塔斯基猜想的工作，及极限群理论。^[9][10]