Risch算法

里施算法（英语：Risch algorithm），是一个由罗伯特·亨利·里施（英语：Robert Henry Risch）而得名的计算不定积分（反导函数）的算法。Risch算法可以将积分的问题转换为代数的问题。Risch算法以要积分函数的形式为基础，而且配合有理函数、方根、指数及对数函数的积分方式。

Risch在1968年提出此算法，将此算法视为决定性程序，因为此算法可以判定一个函数的不定积分是否为初等函数；若答案是肯定的，算法还可以找出此不定积分。

在基思·格迪斯（英语：Keith Geddes）及Stephen R. Czapor、George LabahnRisch所著的《电脑代数的算法》（Algorithms for Computer Algebra）中将Risch算法加以摘要，篇幅超过一百页。Risch–Norman算法（得名自 A. C. Norman）在1976年提出，速度较快但威力较小。

算法描述

Risch算法解决了求一个初等函数的不定积分的问题，对于有理函数，这一问题的简化版已被解决。

这个算法基于刘维尔证明的定理： 如果存在初等函数g，f 使得 g′ = f ， 那么在 f 生成的域中存在常数 α_i 和函数 u_i 和 v ，使得解可以被表示为如下形式：

${\displaystyle g=v+\sum _{i<n}\alpha _{i}\ln(u_{i})}$

Risch的贡献在于，他提供了一套方法，使得人们做积分时只需要考虑上文提到的域中有限的一组函数即可。

相关条目

• 符号积分
• 积分表
• 不完全Γ函数
• 刘维尔定理 (微分代数)

参见