Youla-Kucera参数化

Youla-Kucera参数化（Youla–Kučera parametrization）也称为Youla参数化（Youla parametrization）或是YK参数化，是控制理论中一个参数化（英语：parametrization）的公式，描述所有针对一受控体P的所有可能稳定回授控制器，表示为单一参数Q的函数。

细节

YK参数化是通用的结果，是控制理论的基础结果，不过在新的研究领域（如最佳控制及强健控制中）也有其应用^[1]。

为了方便了解其概念，先用简单的例子举例，再慢慢扩展，这也是Kučera的作法。

稳定的SISO系统

令${\displaystyle P(s)}$为稳定单一输入单一输出（SISO）系统的传递函数。再令Ω是s的稳定proper函数的集合。则所有可以让系统${\displaystyle P(s)}$稳定的proper控制器可以定义如下：

${\displaystyle \left\{{\frac {Q(s)}{1-P(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}}$,

其中${\displaystyle Q(s)}$是任意s的稳定proper函数。也可以说${\displaystyle Q(s)}$参数化了所有可以让系统${\displaystyle P(s)}$稳定的控制器。

一般SISO系统

考虑一系统其传递函数为${\displaystyle P(s)}$，且此传递函数可以分解为

${\displaystyle P(s)={\frac {N(s)}{M(s)}}}$，其中M(s)和N(s)是s的稳定proper函数。

求解下式的贝祖等式

${\displaystyle \mathbf {N(s)X(s)} +\mathbf {M(s)Y(s)} =\mathbf {1} }$,

其中待解的变数（X(s), Y(s)）也要是稳定proper函数。

在找到稳定proper的X和Y后，可以定义稳定化控制器为${\displaystyle C(s)={\frac {X(s)}{Y(s)}}}$。在找到一个稳定化控制器后，可以用一个稳定proper的参数Q(s)来定义所有稳定化控制器，其集合为 ${\displaystyle \left\{{\frac {X(s)+M(s)Q(s)}{Y(s)-N(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}}$,

一般MIMO系统

在多重输入多重输出（MIMO）系统中，考虑传递矩阵${\displaystyle \mathbf {P(s)} }$。可以用右互质因式${\displaystyle \mathbf {P(s)=N(s)D^{-1}(s)} }$或左因式${\displaystyle \mathbf {P(s)={\tilde {D}}^{-1}(s){\tilde {N}}(s)} }$来分解。因式需要是稳定、proper及双重互质，因此确保系统P(s)是可控制且可观察的。可以用贝祖等式写成下式

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\mathbf {X} &\mathbf {Y} \\-\mathbf {\tilde {N}} &{\mathbf {\tilde {D}} }\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {D} &-\mathbf {\tilde {Y}} \\\mathbf {N} &{\mathbf {\tilde {X}} }\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\mathbf {I} &0\\0&\mathbf {I} \\\end{matrix}}\right]}$.

在找到稳定proper的${\displaystyle \mathbf {X,Y,{\tilde {X}},{\tilde {Y}}} }$后，可以用左因式或是右因式定义所有可稳定的控制器K(s)（假设存在负回授）：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {K(s)} ={{\left(\mathbf {X} -\mathbf {\Delta {\tilde {N}}} \right)}^{-1}}\left(\mathbf {Y} +\mathbf {\Delta {\tilde {D}}} \right)\\&=\left(\mathbf {\tilde {Y}} +\mathbf {D\Delta } \right){{\left(\mathbf {\tilde {X}} -\mathbf {N\Delta } \right)}^{-1}}\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle \Delta }$是任意的稳定proper参数。

令${\displaystyle P(s)}$是系统的传递函数，且${\displaystyle K_{0}(s)}$是一个稳定化的控制器，其右互质分解为：

${\displaystyle \mathbf {P(s)} =\mathbf {N} \mathbf {M} ^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {K_{0}(s)} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{-1}}$

则所有的稳定控制器可以写成

${\displaystyle \mathbf {K(s)} =(\mathbf {U} +\mathbf {M} \mathbf {Q} )(\mathbf {V} +\mathbf {N} \mathbf {Q} )^{-1}}$

其中Q是稳定且proper的函数^[2]

YK公式在工程上的重要性是若要找到符合特定准则的可稳定控制器，可以调整Q来符合想要的准则。