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在数学中,商群或因子群是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群。例如,加法模n的循环群是由在整数加法群中将相差n倍的整数定义为一类(称为同余类)得到的一系列可作为一个整体进行二元运算的群结构。
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给定一个群G和G的正规子群N,G在N上的商群或因子群,在直觉上是把正规子群N“萎缩”为单位元的群。商群写为G/N并念作G mod N(mod是模的简写)。
商群的重要性很大程度上源自他们与同态的关系。第一同构定理指出,任意群 在同态下的像总是同构于 的商。具体而言,同态 下 的像同构于G/ker,其中 ker 代表 的核。
如果N不是正规子群,商仍可得到,但结果将不是群,而是齐次空间。
在随后的讨论中,我们将使用在G的子集上的二元运算:如果给出G的两个子集S和T,我们定义它们的乘积为ST = { st : s∈S并且t∈T }。这个运算是符合结合律的并有单位元为单元素集合{e},这里的e是G的单位元。因此,G的所有子集的集合形成了在这个运算下的幺半群。
凭借这个运算我们可以首先解释商群是什么,并接著解释正规子群是什么:
它完全由包含e的子集所确定。G的正规子群是在任何这种划分中包含e的集合。在划分中的子集是这个正规子群的陪集。
群G的子群N是正规子群,当且仅当陪集等式aN = Na对于所有G中的a都成立。依据上述定义的在子集上的二元运算,G的正规子群是交换于G的所有子集的子群,并指示为N ⊲ G。置换于G的所有子群的子群叫做可置换子群。
设N是群G的正规子群。我们定义集合G/N是N在G中的所有左陪集的集合,就是说G/N = { aN : a∈G }。在G/N上的群运算定义如上。换句话说,对于每个G/N中aN和bN,aN和bN的乘积是 (aN)(bN)。这个运算是闭合的,因为 (aN)(bN)实际上是左陪集:
N的正规性被用在了这个等式中。因为N的正规性,N在G中的左陪集和右陪集是相等的,所以G/N也可以定义为N在G中所有的右陪集的集合。因为运算是从G的子集的乘积得出的,这个运算是良好定义的(不依赖于表示的特定选择),符合结合律的,并有单位元N。G/N的元素aN的逆元是a−1N。
G/N被称为商群的契机来自整数的除法。12除以3时会得到答案4,是因为我们可以把12个对象重新分组为各含3个对象的4个子搜集。商群的诞生出于同样的想法,但用一个群作为最终结果而非一个数,因为比起任意对象构成的集合,群有更严密的结构。
更细致的说,当N是G的正规子群的时候,G/N这一群结构形成了一种自然的“重新分组”。它们是N在G中陪集。因为这种运算涉及一个群和它的正规子群,最终我们得到的商不只是陪集的(正常除法所产生的)数目,还包含更多的信息,得到了一个群结构。
商群G / G 同构于平凡群(只有一个元素的群),而G / {e}同构于G。
G / N的阶定义为等于[G : N],它是N在G中的子群的指标(index)。如果G是有限的,这个指标还等于G的阶除以N的阶。注意G / N可以在G和N二者是无限的时候是有限的(比如Z / 2Z)。
有一个“自然”满射群同态π : G → G / N,把每个G的元素g映射到g所属于的N的陪集上,也就是:π(g) = gN。映射π有时叫做“G到G / N上的规范投影”。它的核是N。
在包含N的G的子群和G / N的子群之间有一个双射映射;如果H是包含N的G的子群,则对应的G / N的子群是π(H)。这个映射对于G的正规子群和G / N也成立,并在格定理中形式化。
如果H是在有限群G中的子群,并且H的阶是G的阶的一半,则H保证是正规子群,因此G / H存在并同构于C2。这个结果还可以陈述为“任何指标为2的子群都是正规子群”,并且它的这种形式还适用于无限群。
所有群都同构于一个自由群的商。
有时但非必然的,群G可以从G / N和N重构为一个直积或半直积。判定何时成立的问题叫做扩张问题。不成立的一个例子如下。Z4 / { 0, 2 }同构于Z2,并且还同构于{ 0, 2 },但是唯一的半直积是直积,因为Z2只有一个平凡的自同构。所以Z4不同于Z2 × Z2,它不能被重构。
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