擴展實數線又稱廣義實數(英語:extended real number),由實數線加上得到(注意並不是實數),寫作[−∞, +∞]ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時,符號 +∞常簡寫成。擴展的實數線在研究數學分析,特別是積分時非常有用。

擴展

對任意實數,定義,擴展的實數軸就成了一個全序集。這種集合有種非常好的性質,就是其所有子集都有上確界下確界:這是一個完備格。全序關係在上引入了拓撲。在這個拓撲中,集合鄰域,當且僅當它包含集合,這裡是某個實數。的鄰域類似。是個緊緻豪斯多夫空間,與單位區間同胚

上的算術運算可以部分地擴展到,如下:

通常不定義,。同時也不定義為(因為這樣忽視了),這些規則是根據無窮極限的性質確定的。

注意在這些定義下,不是,也不是

性質

經過上述定義,擴展的實數軸仍有很多實數的性質:

  • 相等或同時沒有定義。
  • 相等或同時沒有定義。
  • 相等或同時沒有定義。
  • 相等或同時沒有定義。
  • 若都有定義則相等。
  • 都有定義,則
  • 都有定義,則

通常只要表達式都有定義,所有算術性質在上都成立。

使用極限,一些函數可以自然地擴展到。例如可以定義等。

參見

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