柯西積分定理(或稱柯西-古薩定理),是一個關於複平面上全純函數的路徑積分的重要定理。柯西積分定理說明,如果從一點到另一點有兩個不同的路徑,而函數在兩個路徑之間處處是全純的,則函數的兩個路徑積分是相等的。另一個等價的說法是,單連通閉合區域上的全純函數沿着任何可求長閉合曲線的積分是0.
柯西積分定理有若干個等價的敘述。例如:
設是複平面的一個開子集。是一個定義在上的函數。設與是內的兩條可求長的簡單曲線,它們的起點和終點都重合:
並且函數在與圍成的閉合區域內是全純函數,那麼函數沿這兩條曲線的路徑積分相同:
以下的證明對函數有較為嚴格的要求,但對物理學中的應用來說已經足夠。設是複平面的一個開子集。是定義在上的全純函數,是內的可求長的簡單閉合曲線。假設的一階偏導數也在上連續,那麼可以根據格林定理作出證明。具體如下:
為了便於表達,將函數寫為實部函數和虛部函數: 由於,積分
依據格林定理,右端的兩個環路積分都可以變形為圍成的區域上的面積分。
另一方面,由於是全純函數,所以它的實部函數和虛部函數滿足柯西-黎曼方程:
所以以上的兩個積分中的被積函數都是0,
因而積分也是0:
- [2]:420-421
George B. Arfken, Hans J. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Elsevier Academic Press(第6版). 2005. ISBN 0-12-088584-0 (英語).
- Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
- Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
- Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
- Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
- Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.