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在數學中,離散群是配備了離散拓撲的群 G。帶有這種拓撲 G 成為了拓撲群。拓撲群 G 的離散子群是其相對拓撲為離散拓撲的子群 H。例如,整數集 Z 形成了實數集 R 的離散子群,但是有理數集 Q 不行。
任何群都可以給予離散拓撲。因為出自離散空間的所有映射都是連續的,離散群的拓撲同態完全就是底層群的群同態。因此,在群范疇和離散群范疇之間有一個同構,離散群因此同一於它們的底層(非拓撲)群。由於這個想法,術語離散群論被用來稱呼對沒有拓撲結構的群的研究,用來對比於拓撲群論或李群論。它在邏輯上和技術上被分為有限群論和無限群論。
因為拓撲群是齊次的,你只需要查看一個單一的點就能確定這個群是否為離散的。特別是,拓撲群是離散的,當且僅當包含單位元的單元素集合是開集。
離散群是和零維李群同樣的東西(不可數離散群不是第二可數的,所以要求李群滿足這個公理的作者不把這些群認做李群)。離散群的單位元單元就是平凡子群而單元的群同構於這個群自身。
因為只有在有限集合上的豪斯多夫拓撲是離散拓撲,有限豪斯多夫拓撲群必然是離散群。可得出所有的豪斯多夫群的有限子群是離散群。
G 的離散子群 H 是餘緊緻(cocompact)的,如果有 G 的緊子集 K 使得 HK = G。
離散正規子群在覆蓋群和局部同構群的理論中扮演重要角色。連通群 G 的離散正規子群必然位於 G 的中心並因此是阿貝爾群。
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