σ-代數

在數學中，某個集合 X 上的 σ-代數（英語：σ-algebra）又叫 σ-域（英語：σ-field），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。這個子集族對於補集運算和可數個聯集運算具有封閉性（因此對於可數個交集運算也是封閉的）。σ-代數在測度論裡可以用來定義所謂的「可測集合」，是測度論的基礎概念之一。

σ-代數的概念大約起始於1900~1930年，它隨着測度論的發展而逐漸清晰。最著名的 σ-代數是關於實數軸測度的波萊爾σ-代數（得名於法國數學家埃米·波萊爾），以及1901年亨利·勒貝格建立的勒貝格σ-代數。而現代的測度理論的公理化體系就建立在勒貝格的相關理論之上。在這個領域中，σ-代數不僅僅是用於建立公理體系，也是一個強有力的工具，在定義許多重要的概念如條件期望和鞅的時候，都需要用到。

動機

σ-代數的提出有至少三個作用：定義測度，操作集合的極限，以及管理集合所表示的部分信息。

測度

測度是給${\displaystyle X}$的子集賦予非負實數值的函數；可以把測度想成給集合的一個精確的「大小」或「體積」的定義。直覺上來講，若干個互不相交集合的併集的大小應當等於它們各自的大小之和，即使有無窮多個這樣的不交集。

定義

定義 — 
${\displaystyle X}$ 為一集合，假設有子集族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$（ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ 代表 ${\displaystyle X}$ 的冪集）滿足下列條件^[1][2]

1. ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$
2. ${\displaystyle (\forall A\in {\mathcal {F}})\left\{(A\in {\mathcal {F}})\Rightarrow [(X-A)\in {\mathcal {F}}]\right\}}$
3. ${\displaystyle (\forall {\mathcal {A}})\left\{[({\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} )\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})]\Rightarrow \left(\bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {F}}\right)\right\}}$

則稱 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一個 σ-代數。

注意到定義第3條的${\displaystyle {\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} }$，意思是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和自然數系 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 等勢，直觀的意思就是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為：一群 ${\displaystyle X}$ 的子集合所組成的集合 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ，為 ${\displaystyle X}$ 上的一個 σ-代數意思是滿足：

• ${\displaystyle X}$ 本身就是 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的元素；
• 如果集合 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中，那麼它的補集 ${\displaystyle X-A}$ 也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中；
• 如果有可數個集合 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots }$ 都在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中，那麼它們的聯集也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中。

在測度論裡有序對 ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)}$ 會被稱為一個可測空間。而任何在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中的子集 ${\displaystyle A}$，則稱為可測集合（measurable set）；而在概率論中， ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 被稱為事件族（family of events）， ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中的子集 ${\displaystyle A}$ 則稱為事件。

例子

• ${\displaystyle X}$上最小的σ-代數是${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$。
• ${\displaystyle X}$上最大的σ-代數是${\displaystyle X}$的冪集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$（也就是所有 ${\displaystyle X}$ 的子集合所組成的集合）

最小σ-代數

定理 — 
設 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一個子集族，則：

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

也是${\displaystyle X}$ 的σ代數。

證明

根據 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 的定義（嚴謹來說，依據分類公理所新增的公理），對所有集合 ${\displaystyle A}$ 有： ${\displaystyle A\in \sigma ({\mathcal {F}})\Leftrightarrow (\forall \Sigma )\left\{[\,(\Sigma {\text{ is a algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma )\,]\Rightarrow (A\in \Sigma )\right\}}$ (a) 以下將逐條檢驗σ代數的定義，來驗證 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 的確是 ${\displaystyle X}$ 的σ代數： (1) ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F}})}$ 對所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$ 來說，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 是σ代數，按照定義理當有 ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ，所以由式(a)的右方的確可以得出 ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F}})}$ 。 (2)若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ，則 ${\displaystyle X-A}$ 也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 中 若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ，那根據式(a)，對所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$ 來說，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 是σ代數 且${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \Sigma }$，理當有 ${\displaystyle A\in \Sigma }$，所以對所有 ${\displaystyle \Sigma }$ 只要滿足這兩個條件，理當有 ${\displaystyle X-A\in \Sigma }$，所以由式(a)的右方的確有： ${\displaystyle (\forall A)\{[A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\Rightarrow [X-A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\}}$ (3)可數個併集也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 中 若 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}})}$ ，由式(a)，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 滿足(a)左方的兩個條件，就有 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }$ ，所以： ${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \Sigma }$ 所以再從(a)右方，就可以得到： ${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \sigma ({\mathcal {F}})}$ 綜上所述， ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 的確是 ${\displaystyle X}$ 的σ代數。${\displaystyle \Box }$

根據以上的定理，可以做以下的定義：

定義 — 
${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一個子集族，則：

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

稱為包含 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的最小σ-代數。

例子

• 設集合${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$，那麼${\displaystyle \sigma (\{\{a\}\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b,c,d\},X\}}$ 是集合${\displaystyle X}$上含有 ${\displaystyle \{a\}}$ 的σ-代數中最「小」的一個。

性質

σ-代數是一個代數也是一個λ系，它對集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集運算都是封閉的。