萬有係數定理

代數拓撲中，萬有係數定理建立了同調群（或上同調群）與不同係數的關係。例如，對每個拓撲空間X，其整同調群是：

${\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )}$

對任何阿貝爾群A，都能完全確定其係數在A中的同調群：

${\displaystyle H_{i}(X;\ A)}$

其中${\displaystyle H_{i}}$可能是單純同調或更一般的奇異同調。此結果的一般證明是關於自由阿貝爾群鏈復形的純同調代數，結果的形式是，可以使用其他係數A，代價是使用Tor函子。

例如，通常取A為${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$，於是係數是模2。在同調中沒有2-扭化的情形下，這就變得簡單明了了。一般來說，這結果表明了X的貝蒂數${\displaystyle b_{i}}$與F域中的係數的貝蒂數${\displaystyle b_{i,\ F}}$之間的關係。但只有當F的特徵是素數p、且同調中存在某種p-扭化時，才會有所不同。

同調情形的說明

考慮模的張量積${\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\otimes A}$。該定理指出，有一個涉及Tor函子的短正合列

${\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}$

其中μ是雙射${\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\times A\to H_{i}(X;\ A)}$誘導的映射。即，張量積的同態由直積的雙射誘導。此外，這序列會分裂，雖然不是自然分裂。

若係數環A是${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$，這就是伯克斯坦譜序列的一個特例。

上同調的萬有係數定理

令G為主理想域R（如${\displaystyle \mathbb {Z} }$或某個域）上的模。

還有一個涉及Ext函子的上同調的萬有係數定理，斷言有自然的短正合列

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}$

與同調情形一樣，序列會分裂，雖然不是自然分裂。

事實上，假設

${\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}$

並定義：

${\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}$

則上面的h就是規範映射：

${\displaystyle h([f])([x])=f(x).}$

另一種觀點是用艾倫伯格–麥克萊恩空間表示上同調，當中h將X到${\displaystyle K(G,\ i)}$的映射的同倫類映射到同調中導出的相應同態。於是，艾倫伯格–麥克萊恩空間弱右伴隨於同調函子。^[1]

例子：實射影空間的模2上同調

令${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}$，即實射影空間。計算X的係數在${\displaystyle R=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$中的奇異上同調。

已知，整數同調由下式給出：

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

有${\displaystyle {\rm {Ext}}(R,\ R)=R,\ {\rm {Ext}}(\mathbb {Z} ,\ R)=0}$，於是上述正合列給出

${\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.}$

事實上，總上同調環結構是

${\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}$

推論

定理的一個特例是計算整上同調。對有限CW復形X，${\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )}$是有限生成的，因此有如下分解：

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}$

其中${\displaystyle \beta _{i}(X)}$是X的貝蒂數，${\displaystyle T_{i}}$是${\displaystyle H_{i}}$的扭部分。可以檢驗

${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}$

且

${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}$

這給出了整上同調的如下聲明：

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}$

對於有向閉連通n維流形X，這一推論與龐加萊對偶性相結合，得出${\displaystyle \beta _{i}(X)=\beta _{n-i}(X)}$。

萬有係數譜序列

對具有扭係數的（上）同調，有萬有係數定理的推廣。對於上同調，有

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)}$

其中R是單位環，${\displaystyle C_{*}}$是R上自由模的鏈復形，G是某單位環S的任意${\displaystyle (R,S)}$-雙模，${\displaystyle {\rm {Ext}}}$是Ext群。微分${\displaystyle {\rm {d}}^{r}}$的度為${\displaystyle (1-r,\ r)}$。

同調也類似

${\displaystyle E_{p,q}^{2}={\rm {Tor}}_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)}$

其中${\displaystyle {\rm {Tor}}}$是Tor群，微分${\displaystyle {\rm {d}}_{r}}$的度為${\displaystyle (r-1,\ -r)}$。