三尖瓣線

三尖瓣線（tricuspoid）也稱為施泰納曲線（Steiner curve），是有三個尖點的圓內螺線，是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時，圓上一點產生的一般旋輪線

紅色的即為三尖瓣線

三尖瓣線也可以指有三個頂點，之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間，因此三尖瓣線內的空間是非凸集合^[1]。

方程式

三尖瓣線可以用以下的參數方程表示：

${\displaystyle x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,}$

${\displaystyle y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,}$

其中${\displaystyle a}$是小圓的半徑，${\displaystyle b}$是大圓（也就是小圓在其內側無滑動滾動）的半徑（此處${\displaystyle b=3a}$）。

在複變座標下可得

${\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it}}$.

上述的t可以消去，得到以下的笛卡爾座標下的方程

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,}$

因此三尖瓣線是四階的代數曲線，在極坐標下為

${\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}$

曲線有三個奇點，是對應${\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}}$的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線，也就表示其幾何虧格（英語：geometric genus）為零。

三尖瓣線的對偶曲線（英語：dual curve）為

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}$

在原點有一個二重點，若進行一個虛軸上的旋轉${\displaystyle y\mapsto iy}$，曲線會變為下式，就可以看到其二重點

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}$

在實平面的原點上有二重點。

面積及周長

三尖瓣線的面積為${\displaystyle 2\pi a^{2}}$，其中${\displaystyle a}$為小圓的半徑，其面積是小圓面積的兩倍^[2]。

其周長為${\displaystyle 16a}$^[2]。

歷史

早在1599年時，伽利略·伽利萊及馬蘭·梅森就已開始研究常見的擺線，而奧勒·羅默在1674年研究齒輪的最佳外形時，也有用到擺線。李昂哈德·歐拉認為他是最早（1745年）將三尖瓣線應用在實際光學問題的人。

應用

三尖瓣線有應用在許多的數學領域中，舉例如下：

• 三維unistochastic（英語：unistochastic）矩陣複數特徵值的集合即為三尖瓣線。
• SU(3)群裡所有酉矩陣的可能跡的集合會組成三尖瓣線。
• 二個三尖瓣線的交集會形成一群6階的複數Hadamard矩陣（英語：Complex Hadamard matrix）。
• 三角形的所有西姆松線的集合，其包絡線會是三尖瓣線。因為雅各布·施泰納在1856年描述過此曲線的形狀及對稱性，因此此曲線稱為這稱為施泰納三尖瓣線，^[3]。
• 三角形面積平分線的包絡線會是三尖瓣線，三個頂點是中線的中點。三尖瓣線的三邊是雙曲線的弧^[4][1]。
• 三尖瓣線屬於掛谷集（英語：Kakeya set）中的掛谷針集合（Kakeya needle set，長度為1的針可以在其中旋轉360度），有科學家認為三尖瓣線是掛谷針問題（Kakeya needle problem，面積最小小的掛谷針集合）的解，後來發現不是。

相關條目

• 星形線：有三個尖點的圓內螺線
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