中立者函數

中立者函數是荷蘭數學家Van de Corput引入的函數，定義如下^[1]

${\displaystyle q(x,\alpha ,\beta )={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0,\end{cases}}}$

Neutralisers function

中立者函數一階微商

中立者函數二階微商

中立者函數${\displaystyle q(x,\alpha ,\beta )}$ 在${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$區間內無限可微分，與單位階躍函數截然不同。

實例

令${\displaystyle p(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\exp(-1/x),&x>0,\end{cases}}}$

${\displaystyle q_{2}(x,\alpha ,\beta )={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\{\frac {p(x-\alpha )}{p(x-\alpha )+p(x-\beta )}},&x>0,\end{cases}}}$

${\displaystyle q_{2}(x,\alpha ,\beta )=1-q_{2}(x,\alpha ,\beta )}$