九點模版

數值分析中，假設有在二維空間下的方形網格，一個點的九點模版（英語：nine-point stencil）是指包括其周圍八個點和其自身的模版。九點模版可以用差分來近似中央點的導數，是數值微分的範例之一。九點模版常用在近似二個變數的拉普拉斯算子。

二維下的九點模版

動機

若用有限差分法，將二維的拉普拉斯算子離散化，可以得到常見的五點模版，表示為以下的卷積核：

${\displaystyle D_{CD}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}$

從均勻的初始條件開始，只有一個類似點狀的擾動，確切解會得到圓，若其成長速率在軸上比較快，就會有中央差分離散化的各向異性效果，圓形會變成星形^[1]

雖然比較容易計算，計算量也比較少，但中央等化子會有不希望出現的本質性各向異性，因為此等化子沒有考慮對角的影響。若在一些要求準確的應用中，拉普拉斯運算子的效果在座標軸上較快，其他方向較慢，這本質性的各向異性會是問題，會扭曲模擬結果^[1]。

上述問題開始讓研究者尋找較好的離散拉普拉斯運算子的方法，希望可以消除各向異性。

實現

以下是二個最常見的各向同性九點模版，以其卷積核的形式表示。可以用以下的公式求得^[2][3]：

${\displaystyle D=(1-\gamma ){\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}+\gamma {\begin{bmatrix}1/2&0&1/2\\0&-2&0\\1/2&0&1/2\end{bmatrix}}}$

第一個是因Oono-Puri而得名^{[4][5][6][7][8]}，係數是γ=1/2^[2]。

${\displaystyle D_{OP}={\begin{bmatrix}1/4&2/4&1/4\\2/4&-12/4&2/4\\1/4&2/4&1/4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.25&0.5&0.25\\0.5&-3&0.5\\0.25&0.5&0.25\end{bmatrix}}}$

第二個是因為Patra-Karttunen或Mehrstellen而得名^{[1][7][8][9][10]}，係數是γ=1/3^[2]。

${\displaystyle D_{PK}={\begin{bmatrix}1/6&4/6&1/6\\4/6&-20/6&4/6\\1/6&4/6&1/6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.16&0.66&0.16\\0.66&-3.33&0.66\\0.16&0.66&0.16\end{bmatrix}}}$

兩個都是離散拉普拉斯算子（英語：Discrete Laplace operator）的各向同性形式^[8]，在小Δx的極限下，兩者等價^[11]。Oono-Puri是各向同性離散化的最佳解^[8]，整體誤差都縮小^[2]，而Patra-Karttunen在加入旋轉不變量的條件下，已有系統性的研究^[9]，在原點附近誤差最小^[2]。