交叉相乘

數學上，尤其是在四則運算和初等代數中，給定一個兩邊各一個分式或比的等式，就可以用交叉相乘來化簡等式或求出變量。 給定一個這樣的等式：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$

(當b和d都不等於零時)，可以交叉相乘來得到：^[1]

${\displaystyle ad=bc\qquad }$或${\displaystyle \qquad a={\frac {bc}{d}}.}$

歐幾里得幾何中，相同的運算可以通過相似三角形得到。

過程

實踐中，交叉相乘的方法就是將兩邊的分子各乘以另一邊的分母。^[2]

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}}\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

這種方法的數學證明是由下列數學過程推導而來的。我們從這個簡單的等式開始：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ (b和d都不等於零)

我們可以兩邊同乘以相等的數而兩邊仍然相等，所以如果我們在這個等式兩邊同乘以bd，我們就得到了: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$ 我們可以把等式左邊的兩個b和右邊的兩個d約去，剩下

${\displaystyle ad=bc}$

我們在這裡也可以兩邊同除以:${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$來得到：

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}}$

我們也可以兩邊同乘以d/d和b/b (都等於1)，得到：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}}}$

所以：

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

兩邊同除以bd得到：

${\displaystyle ad=cb.}$

這些步驟中的單獨的每一步都基於等式性質，交叉相乘是一條捷徑，也是一個易於理解的，可以教給學生的過程。

使用方法

這是一個用來化簡等式或求出變量數值的數學方法。如果我們遇到一個這樣的方程：

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}}}$

我們可以用交叉相乘解出

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

舉個例子，如果我們要求出一輛車在7小時內能開多遠，我們如果知道它是勻速的，且它已在之前的3小時內開了90英里，將這個問題轉為比例我們得到：

${\displaystyle {\frac {x}{7\ \mathrm {hours} }}={\frac {90\ \mathrm {miles} }{3\ \mathrm {hours} }}.}$

交叉相乘得到：

${\displaystyle x={\frac {90\ \mathrm {miles} \times 7\ \mathrm {hours} }{3\ \mathrm {hours} }}.}$

所以

${\displaystyle x=210\ \mathrm {miles} }$

注意即使是這樣的方程

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

將b部分視為1，也可以視為下列方程來用交叉相乘來解決

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

任何含有分式的等式也都可以用兩邊同時乘以分母的最小公倍數來化簡