交替多線性映射

在數學中，具體來說在多線性代數中，交替多線性映射是所有參數都屬於同一個向量空間（例如雙線性形式或多線性形式）的多線性映射。若任意一對參數相等，交替多線性映射就為零。這可以直接推廣到交換環上的模。

交替化的概念是指：對於任意一個所有參數都屬於同一空間的多線性映射，均可通過該操作構造出一個交替多線性映射。

定義

令 ${\displaystyle R}$ 為一交換環，${\displaystyle V}$ 和 ${\displaystyle W}$ 是環上的模。若一多線性映射具有形式 ${\displaystyle f:V^{n}\mapsto W}$，則其在滿足以下等價條件之一時被稱為交替的：

1. 當存在 ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$ 使得 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=\mathbf {x} _{i+1}}$ 時，則 ${\displaystyle f\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right)=0}$。^[1][2]
2. 當存在 ${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq n}$ 使得 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=\mathbf {x} _{j}}$ 時，則 ${\displaystyle f\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right)=0}$。^[1][3]

向量空間

令 ${\displaystyle V}$ 與 ${\displaystyle W}$ 為同一個體上的向量空間。則如果一個多線性映射 ${\displaystyle f:V^{n}\mapsto W}$ 滿足

• 若 ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}}$ 線性相關，則 ${\displaystyle f\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right)=0}$。

則稱其為交替的。^[4]

例子

在李代數中，李括號是交替雙線性映射。

矩陣的行列式是其行或列的交替多線性映射。^[5]

性質

如果 ${\displaystyle c}$ 在基環 ${\displaystyle R}$ 里，則對任意 ${\displaystyle i\neq j}$，將交替多線性映射的分量 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ 替換為 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}+c\mathbf {x} _{j}}$ 後，映射的值不變。^[3]

每個交替多線性映射都是反對稱的（英語：Bilinear_form#Symmetric,_skew-symmetric,_and_alternating_forms），^[6]也就是說^[1]，對任意 ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$ 有： $${\displaystyle f\left(\dots ,\mathbf {x} _{i},\mathbf {x} _{i+1},\dots \right)=-f\left(\dots ,\mathbf {x} _{i+1},\mathbf {x} _{i},\dots \right),}$$ 或其等價形式，將 ${\displaystyle n}$ 階置換群記作 ${\displaystyle S_{n}}$，${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$ 是 ${\displaystyle \sigma }$ 的符號，則對任意 ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ 有：$${\displaystyle f\left(\mathbf {x} _{\sigma \left(1\right)},\dots ,\mathbf {x} _{\sigma \left(n\right)}\right)=\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)f\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right).}$$^[7] 若 ${\displaystyle n!}$ 是基環 ${\displaystyle R}$ 的可逆元，則每個反對稱 ${\displaystyle n}$-線性形式都是交替的。

交替化

給定一個具有形式 ${\displaystyle f:V^{n}\mapsto W}$ 的多線性映射，對應的交替多線性映射 ${\displaystyle g:V^{n}\mapsto W}$ 可由下式定義：$${\displaystyle g\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)f\left(\mathbf {x} _{\sigma \left(1\right)},\dots ,\mathbf {x} _{\sigma \left(n\right)}\right).}$$ ${\displaystyle g}$ 稱為 ${\displaystyle f}$ 的交替化。

性質

• 交替 ${\displaystyle n}$-線性映射的交替化是其本身乘上 ${\displaystyle n!}$。
• 對稱映射的交替化為零。
• 雙線性映射的交替化是雙線性的。更特別地，任意上閉鏈（英語：cocycle）（cocycle）的交替化是雙線性的。這個重要事實使得格（lattice）的二階上同調群與格上的交替雙線性形式群建立起同構關係。^{[來源請求]}

參見

• 交替代數
• 雙線性映射
• 外代數§交替多線性形式（英語：Exterior algebra#Alternating multilinear forms）
• 映射
• 多線性代數
• 多線性映射
• 多線性形式
• 對稱化