交替方向隱式法

數值分析中，交替方向隱式法（Alternating direction implicit method）是有限差分法的一種，用於求解拋物線型偏微分方程或橢圓型偏微分方程^[1]。特別適用於求解二維及更高維度的熱傳導方程與擴散方程。

求解熱傳導方程在傳統上使用Crank-Nicolson方法，該方法較為耗時。ADI的優點在於，每一迭代步中，所求解的方程具有更為簡單的結構，因此更易於求解。

方法

考慮二維擴散方程,

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)=(u_{xx}+u_{yy})\quad }$

隱式Crank-Nicolson方法將給出以下有限差分方程：

${\displaystyle {u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n} \over \Delta t}={1 \over 2}\left(\delta _{x}^{2}+\delta _{y}^{2}\right)\left(u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^{n}\right)}$

其中，${\displaystyle \delta _{p}}$是關於坐標方向p上的中心差分算符。通過穩定性分析可以證明該方法對於任意${\displaystyle \Delta t}$都表現穩定。

但是，Crank-Nicolson方法的缺點在於，上述方程中的帶狀矩陣分布過寬，這使得求解方程相當耗時。

ADI方法的思想在於將一個有限差分方程分割為兩個，一個在x方向上隱式求導，另一個在y方向上隱式求導。

${\displaystyle {u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^{n} \over \Delta t/2}=\left(\delta _{x}^{2}u_{ij}^{n+1/2}+\delta _{y}^{2}u_{ij}^{n}\right)}$

${\displaystyle {u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2} \over \Delta t/2}=\left(\delta _{x}^{2}u_{ij}^{n+1/2}+\delta _{y}^{2}u_{ij}^{n+1}\right).}$

這樣，該方程系統涉及一個對稱陣和一個三角矩陣，可以用三對角陣的求解算法進行計算。

可以證明，二維條件下該方法無條件穩定^[2]。

在此基礎上擴展有更多的ADI方法，如Douglas^[3]，f-factor方法^[4]，可用於求解三維及更高維的問題。