代數閉域

在數學上，一個域${\displaystyle F}$被稱作代數閉域，若且唯若任何係數屬於${\displaystyle F}$且次數大於零的單變數多項式在${\displaystyle F}$裡至少有一個根。代數閉域一定是無限域。

例子

舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：

${\displaystyle x^{2}+1=0}$

同理可證有理數域非代數閉域。此外，有限域也不是代數閉域，因為若${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$列出${\displaystyle F}$的所有元素，則下列多項式在${\displaystyle F}$中沒有根：

${\displaystyle (x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1\,}$

反之，複數域則是代數閉域；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。

等價的刻劃

給定一個域${\displaystyle F}$，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

不可約多項式若且唯若一次多項式

域 ${\displaystyle F}$ 是代數閉域，當且僅當環 ${\displaystyle F[x]}$ 中的不可約多項式是而且只能是一次多項式。

「一次多項式是不可約的」的斷言對於任何域都是正確的。如果 ${\displaystyle F}$ 是代數閉域，${\displaystyle p(x)}$ 是 ${\displaystyle F[x]}$ 的一個不可約多項式，那麼它有某個根 ${\displaystyle a}$，因此 ${\displaystyle p(x)}$ 是 ${\displaystyle x-a}$ 的一個倍數。由於 ${\displaystyle p(x)}$ 是不可約的，這意味着對於某個 ${\displaystyle k\in F\backslash \{0}\}$，有 ${\displaystyle p(x)=k(x-a)}$。另一方面，如果 ${\displaystyle F}$ 不是代數閉域，那麼存在 ${\displaystyle F[x]}$ 內的某個非常數多項式 ${\displaystyle p(x)}$ 在 ${\displaystyle F}$ 內沒有根。設 ${\displaystyle q(x)}$ 為 ${\displaystyle p(x)}$ 的某個不可約因子。由於 ${\displaystyle p(x)}$ 在 ${\displaystyle F}$ 內沒有根，因此 ${\displaystyle q(x)}$ 在 ${\displaystyle F}$ 內也沒有根。所以，${\displaystyle q(x)}$ 的次數大於一，因為每一個一次多項式在 ${\displaystyle F}$ 內都有一個根。

每一個多項式都是一次多項式的乘積

域 ${\displaystyle F}$ 是代數閉域，當且僅當每一個係數位於次數 ${\displaystyle F}$ 內的 ${\displaystyle n\geq 1}$ 的多項式 ${\displaystyle p(x)}$ 都可以分解成線性因子。也就是說，存在域 ${\displaystyle F}$ 的元素 ${\displaystyle k,x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$，使得 ${\displaystyle p(x)=k(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}$。

如果 ${\displaystyle F}$ 具有這個性質，那麼顯然 ${\displaystyle F[x]}$ 內的每一個非常數多項式在 ${\displaystyle F}$ 內都有根；也就是說，${\displaystyle F}$ 是代數閉域。另一方面，如果 ${\displaystyle F}$ 是代數閉域，那麼根據前一個性質，以及對於任何域 ${\displaystyle K}$，任何 ${\displaystyle K[x]}$ 內的多項式都可以寫成不可約多項式的乘積，推出這個性質對 ${\displaystyle F}$ 成立。

${\displaystyle F^{n}}$ 的每一個自同態都有特徵向量

域 ${\displaystyle F}$ 是代數閉域，當且僅當對於每一個自然數 ${\displaystyle n}$，任何從 ${\displaystyle F^{n}}$ 到它本身的線性映射都有某個特徵向量。

${\displaystyle F^{n}}$ 的自同態具有特徵向量，當且僅當它的特徵多項式具有某個根。因此，如果 ${\displaystyle F}$ 是代數閉域，每一個 ${\displaystyle F^{n}}$ 的自同態都有特徵向量。另一方面，如果每一個 ${\displaystyle F^{n}}$ 的自同態都有特徵向量，設 ${\displaystyle p(x)}$ 為 ${\displaystyle F[x]}$ 的一個元素。除以它的首項係數，我們便得到了另外一個多項式 ${\displaystyle q(x)}$，它有根當且僅當 ${\displaystyle p(x)}$ 有根。但如果 ${\displaystyle q(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$，那麼 ${\displaystyle q(x)}$ 是以下友矩陣的特徵多項式：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

有理表達式的分解

域 ${\displaystyle F}$ 是代數閉域，當且僅當每一個係數位於 ${\displaystyle F}$ 內的一元有理函數都可以寫成一個多項式函數與若干個形為 ${\displaystyle {\frac {a}{(x-b)^{n}}}}$的有理函數之和，其中 ${\displaystyle n}$ 是自然數，${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 是 ${\displaystyle F}$ 的元素。

如果 ${\displaystyle F}$ 是代數閉域，那麼由於 ${\displaystyle F[x]}$ 內的不可約多項式都是一次的，根據部分分式分解的定理，以上的性質成立。

而另一方面，假設以上的性質對於域 ${\displaystyle F}$ 成立。設 ${\displaystyle p(x)}$ 為 ${\displaystyle F[x]}$ 內的一個不可約元素。那麼有理函數 ${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$ 可以寫成多項式函數 ${\displaystyle q}$ 與若干個形為 ${\displaystyle {\frac {a}{(x-b)^{n}}}}$ 的有理函數之和。因此，有理表達式

${\displaystyle {\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}$

可以寫成兩個多項式的商，其中分母是一次多項式的乘積。由於 ${\displaystyle p(x)}$ 是不可約的，它一定能整除這個乘積，因此它也一定是一個一次多項式。

代數閉包

設${\displaystyle E\supset F}$為代數擴張，且${\displaystyle E}$是代數閉域，則稱${\displaystyle E}$是${\displaystyle F}$的一個代數閉包。可以視之為包含${\displaystyle F}$的最小的代數閉域。

若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何域都有代數閉包。設${\displaystyle E,E'}$為任兩個${\displaystyle F}$的代數閉包，則存在環同構${\displaystyle \sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E'}$使得${\displaystyle \sigma |_{F}=\mathrm {id} _{F}}$；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 ${\displaystyle F^{\mathrm {alg} }}$ 或${\displaystyle {\bar {F}}}$。

文獻

• S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
• Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5