伐里農定理 (力學)

伐里農定理是法國數學家皮埃爾·伐里農（1654–1722）在《新力學構想》（Projet d'une nouvelle mécanique）（1687）中發表的定理。該定理指出，系統的合力矩等於各分力矩的矢量和。^[1]

證明

考慮${\displaystyle N}$個力矢${\displaystyle \mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},...,\mathbf {f} _{N}}$，它們共同作用於一點${\displaystyle \mathbf {O} }$，則結果為：

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}}$.

每個分力相對於其他點${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$的力矩為

${\displaystyle \mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {f} _{i}}$.

將力矩相加並去掉公因子${\displaystyle (\mathbf {O} -\mathbf {O_{1}} )}$，可見結果可完全用${\displaystyle \mathbf {F} }$表示，實際上就是${\displaystyle \mathbf {F} }$相對於${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$點的力矩：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \left(\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}\right)=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {F} =\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {F} }}$.

證明了定理，即關於${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$的合力矩與各分力的分力矩之和相同。