位置算符

在量子力學裏，位置算符（position operator）是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記，位置算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ 的本徵態 ${\displaystyle |x\rangle }$ 滿足方程式

${\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle }$ ；

其中，${\displaystyle x}$ 是本徵值，是量子態為 ${\displaystyle |x\rangle }$ 的粒子所處的位置，${\displaystyle x}$ 只是一個數值。

位置空間表現

設定量子態 ${\displaystyle |\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle }$ 。量子態 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ 、${\displaystyle |\psi \rangle }$ 的位置空間表現，即波函數，分別定義為

${\displaystyle \Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle }$ 、

${\displaystyle \psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle }$ 。

在位置空間裡，定義算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}}$ 為

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ x\psi (x)}$ 。

在位置空間裡，使用連續本徵態 ${\displaystyle |x'\rangle }$ 所組成的基底，任意量子態 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 展開為

${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle }$ 。

將量子算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ 作用於量子態 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ，可以得到

${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'\psi (x')|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')|x'\rangle }$ 。

應用狄拉克正交歸一性，${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$ ，這方程式與左矢 ${\displaystyle \langle x|}$ 的內積為

${\displaystyle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\delta (x-x')={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)}$ 。

量子態 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ 的展開式為

${\displaystyle \Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')|x'\rangle }$ 。

應用狄拉克正交歸一性，這方程式與左矢 ${\displaystyle \langle x|}$ 的內積為

${\displaystyle \langle x|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\delta (x-x')=\Psi (x)}$ 。

所以，兩個波函數 ${\displaystyle \Psi (x)}$ 、${\displaystyle \psi (x)}$ 之間的關係為

${\displaystyle \Psi (x)={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)}$ 。

總結，位置算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ 作用於量子態 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 的結果 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ，表現於位置空間，等價於波函數 ${\displaystyle \psi (x)}$ 與 ${\displaystyle x}$ 的乘積 ${\displaystyle \Psi (x)}$ 。位置算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ 的位置空間表現是位算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}}$ ，可以稱算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}}$ 為位置算符。

本徵函數

假設，在位置空間裡，位置算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}}$ 的本徵值為 ${\displaystyle q}$ 的本徵函數是 ${\displaystyle g_{q}(x)}$ 。用方程式表達，^[1]

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}g_{q}(x)=qg_{q}(x)}$ 。

這方程式的一般解為，

${\displaystyle g_{q}(x)=g_{0}\delta (x-q)}$ ；

其中，${\displaystyle g_{0}}$ 是常數，${\displaystyle \delta (x-q)}$ 是狄拉克δ函數。

注意到 ${\displaystyle g_{q}(x)}$ 無法歸一化：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q}^{*}(x)g_{q}(x)\ dx=|g_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta ^{2}(x-q)\ dx={\mbox{?}}}$ 。

設定 ${\displaystyle g_{0}=1}$ ，函數 ${\displaystyle g_{q}(x)}$ 滿足下述方程式：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q1}^{*}(x)g_{q2}(x)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta (x-q1)\delta (x-q2)\ dx=\delta (q1-q2)}$ 。

這性質不是普通的正交歸一性，這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數具有完備性，也就是說，任意波函數 ${\displaystyle \psi (x)}$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

${\displaystyle \psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi (q)g_{q}(x)\ dq}$ 。

雖然本徵函數 ${\displaystyle g_{q}(x)}$ 所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置 ${\displaystyle q}$ ，因此，根據不確定性原理，這種理想量子態的動量呈均勻分佈。

期望值

採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ，是實值定義域的平方可積函數的空間。^[2]:11兩個態向量的內積是

${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)\,\mathrm {d} x}$ 。

對於任意量子態 ${\displaystyle \psi }$ ，可觀察量 ${\displaystyle x}$ 的期望值為

${\displaystyle \langle x\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle }$ 。

位置算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ 作用於量子態 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 ${\displaystyle \psi (x)}$ 與 ${\displaystyle x}$ 的乘積，所以，

${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x\,|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x}$ 。

粒子處於 ${\displaystyle x}$ 與 ${\displaystyle x+dx}$ 微小區間內的機率是

${\displaystyle p(x)\mathrm {d} x=\psi ^{*}(x)\psi (x)\mathrm {d} x}$ 。

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

三維案例

推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 的波函數為 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ，位置的期望值為^[2]:41-42

${\displaystyle \langle \mathbf {r} \rangle =\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$ ；

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$ 是積分體積。

位置算符 ${\displaystyle \mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} }$ 的作用為

${\displaystyle \mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} \psi =\mathbf {r} \psi }$ 。

對易關係

位置算符與動量算符的對易算符，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果：

${\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi }$ 。

所以，${\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar }$ 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。${\displaystyle {\hat {x}}}$ 與 ${\displaystyle {\hat {p}}}$ 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言，${\displaystyle {\hat {x}}}$ 的本徵態與 ${\displaystyle {\hat {p}}}$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

${\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|}$ 。

由於 ${\displaystyle x}$ 與 ${\displaystyle p}$ 是兩個不相容可觀察量，${\displaystyle \left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2}$ 。所以，${\displaystyle x}$ 的不確定性與 ${\displaystyle p}$ 的不確定性的乘積 ${\displaystyle \Delta x\ \Delta p}$ ，必定大於或等於 ${\displaystyle \hbar /2}$ 。