體積積分

數學（特別是多元微積分）裡的體積積分（∭），也稱為體積分，是在三維空間下的積分，是一種多重積分。體積積分在物理學上的許多應用都很重要，例如用通量密度計算通量，或是從密度函數計算質量。

座標系

多半會用微分體積元素${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz}$來說明體積積分。 $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dV.}$$ 體積積分也是函數 ${\displaystyle f(x,y,z)}$在區域${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$裡的多重積分，常常寫成下式： $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$$ 若在圓柱坐標系，體積積分如下 $${\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}$$ 若在球坐標系（使用ISO的標示法，角度${\displaystyle \varphi }$為方位角，${\displaystyle \theta }$是相對極軸的角度），體積積分如下 $${\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$$ 利用雅可比矩陣，可以將三重積分從卡氏座標系轉換到任意座標系。假設有${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (u,v,w)}$的變換。可以將體積積分表示如下 $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{D}f(u,v,w)\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,du\,dv\,dw}$$ 定義雅可比行列式如下 $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\\\end{vmatrix}}}$$

相關條目

• Mathematics主題

• 高斯散度定理
• 曲面積分
• 體積元素
• 線元素（英語：Line element）
• 曲線積分

外部連結

• Multiple integral, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英語）
• 埃里克·韋斯坦因. Volume integral. MathWorld.