福克-普朗克方程

福克-普朗克方程式（Fokker–Planck equation）描述粒子在位能場中受到隨機力後，隨時間演化的位置或是速度的分布函數 ^[1] 。此方程式以荷蘭物理學家阿德里安·福克^[2]與馬克斯·普朗克^[3]的姓氏來命名。

存在拖曳和擴散項時，福克-普朗克方程式的一個一維解。初始狀態為遠離零速度的δ函數，隨機衝擊使其分布逐漸變寬

一維 x方向上,福克-普朗克方程式有兩個參數，一是拖曳參數 D₁(x,t)，另一是擴散 D₂(x,t)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[D_{1}(x,t)f(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D_{2}(x,t)f(x,t)\right].}$

在${\displaystyle N}$ 維空間中的福克-普朗克方程式是

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right],}$ ${\displaystyle x_{i}}$ 是第${\displaystyle i}$維度的位置，此時 ${\displaystyle D^{1}}$為拖曳向量，${\displaystyle D^{2}}$為擴散張量。

其他

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\nabla \cdot (P\nabla V)+D\nabla ^{2}P}$

若V=0，則福克-普朗克方程式成為布朗運動

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=D\nabla ^{2}P}$

與隨機方程式的關係

福克-普朗克方程式可以用來計算隨機過程裏隨機微分方程式中分布函數的解。

一個受隨機力的經典粒子，經由朗之萬方程式可以得到福克-普朗克方程式。另外再藉由福克-普朗克方程式也可推導薛定諤方程式^[4]。