內斯比特不等式

內斯比特不等式（英語：Nesbitt's inequality）是數學的一條不等式，它說對任何正實數${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$，${\displaystyle c}$，都有：

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

當且僅當 ${\displaystyle a=b=c}$，等號成立。

證明

基於平均數不等式的證明

此不等式證明方法很多，例如從平均數不等式我們有：

${\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}}$，

移項得出：

${\displaystyle [(a+b)+(a+c)+(b+c)]\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9}$，

整理左式：

${\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}\geq {9 \over 2}}$，

${\displaystyle \left({\frac {a}{b+c}}+1\right)+\left({\frac {b}{a+c}}+1\right)+\left({\frac {c}{a+b}}+1\right)\geq {9 \over 2}}$。

因而不等式得證。

基於配方法的證明

注意到：

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {3}{2}}+{\frac {(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}}+{\frac {(b-c)^{2}}{2(c+a)(a+b)}}+{\frac {(c-a)^{2}}{2(a+b)(b+c)}}\geq {\frac {3}{2}}}$

因而不等式得證。