減法

減法（英語：substraction、法語：soustraction）是四則運算之一。減法運算的本質，就是「逆着加法去尋找原數」。

將5個桃子扣去2個，還剩3個，此時可以表達為${\displaystyle 5-2=3}$

例如：${\displaystyle {{5}-{2}}=3}$ 中，已知 ${\displaystyle 5}$ 是 ${\displaystyle 2}$ 和 ${\displaystyle 3}$ 的和，其中一個加數是 ${\displaystyle 2}$ ，求另一個加數 ${\displaystyle 3}$ 。

其中，${\displaystyle 5}$ 稱為被減數，${\displaystyle 2}$ 稱為減數，${\displaystyle 3}$ 是 ${\displaystyle 5}$ 和 ${\displaystyle 2}$ 的差。

減法遵循幾個重要的規律：

減法不像加法那樣符合交換律，即改變運算順序會一同改變結果符號。它也不滿足結合律，也就是說，當需要連續減去兩個以上的數時，減法的執行順序會影響結果。由於 ${\displaystyle 0}$ 是加法單位元，減去 ${\displaystyle 0}$ 不會改變一個數的值。

此外，減法在涉及相關運算（如加法和乘法）時也遵循可預測的規則。所有這些規則皆可從整數減法開始進行證明，並推廣至實數、乃至更廣泛的數學對象。所有遵循這些規律的通用二元運算在抽象代數中都有研究。

定義

波爾多某商店張貼的促銷廣告：購買香水第二瓶打八折（即減價兩成）。

算術定義​

已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，符號為「 ${\displaystyle -}$ 」，結果為差。

集合論定義

在集合論中，減法通過差集定義。給定兩個集合 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ ，它們的差集 ${\displaystyle A\backslash B}$ 包含所有屬於 ${\displaystyle A}$ 但不屬於 ${\displaystyle B}$ 的元素。例如：

若 ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$，${\displaystyle B=\{2,4\}}$，則 ${\displaystyle A\backslash B=\{1,3\}}$。

此外，在可計算性理論中，由於減法在自然數上並非良定義，數與數之間的運算實際上是通過「截斷減法」或稱為monus的運算來定義的。

代數結構中的定義

在更抽象的代數系統中（如群、環、域）：

• 群​​：若 ${\displaystyle G}$ 是一個群，減法 ${\displaystyle a-b}$ 定義為 ${\displaystyle a+(-b)}$，其中 ${\displaystyle -b}$ 是 ${\displaystyle b}$ 的加法逆元。
• 環與域​​：減法是加法的逆運算，滿足封閉性、結合律及分配律的擴展性質。

例如，在整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 中，減法確保對任意 ${\displaystyle a,b\in Z}$ ，存在唯一的 ${\displaystyle c}$ 使得 ${\displaystyle a=b+c}$ 。

符號與表示

主條目：減號

減法通常用被減數與減數之間的減號"-"來表示（中綴表示法的一種），運算結果則用等號「=」表示。例如：

${\displaystyle 2-1=1}$（2 減 1 等於 1）

${\displaystyle 4-6=-2}$（4 減 6 等於 -2）

在某些情況下，即使沒有出現減號，減法運算亦可「約定俗成」。例如在記賬的一列數中，若下方數字以紅色顯示，則通常表示需要減去該列中較小的數，差值寫在該行下方橫線之下的位置。^[1]

英語單詞subtraction（減法，名詞）來源於拉丁語動詞「subtrahere」，而該動詞本身由前綴「sub」（意為「（從）下方」）和動詞「trahere」（意為「拉拽」）複合構成。^[2]因此，減法的字面含義就是「從下方拉出」或「取走」。而subtrahend（減數）則由添加動名詞後綴「-nd」派生（字面意義為「被拉出的事物」）。

minuend（被減數）則源於拉丁動詞「minuere」（意為「減少或縮小」），表示「被縮減的事物」。^[3]

性質

恆等性質

任何數減去 0​​ 都等於其本身：${\displaystyle a-0=a}$。

非運算性質

1. ​非交換律​​：${\displaystyle 5-3\neq 3-5}$
2. 非結合律​​：${\displaystyle (10-3)-2\neq 10-(3-2)}$

不同的減法運算

自然數減法

自然數集上的減法運算不滿足封閉性：只有當被減數大於或等於減數時，差值才是自然數。例如 ${\displaystyle 11}$ 減去 ${\displaystyle 26}$ 就無法得到自然數結果。對此有兩種處理方式：

1. ​偏函數法​​：直接假定 ${\displaystyle 11}$ 不能減去 ${\displaystyle 26}$ ，化減法為偏函數
2. ​整數擴展法​​：將結果表示為負整數，即 ${\displaystyle 11-26=-15}$

整數減法

想象一條長度為 ${\displaystyle b}$ 的線段，左端標記為 ${\displaystyle a}$ ，右端標記為 ${\displaystyle c}$ 。從 ${\displaystyle a}$ 點出發，向右移動 ${\displaystyle b}$ 個單位即可到達 ${\displaystyle c}$ 點。在數學上，這種右移通過加法運算建模：

${\displaystyle a+b=c}$

而從 ${\displaystyle c}$ 點出發，向左移動 ${\displaystyle b}$ 個單位就能回到 ${\displaystyle a}$ 點。這種左移則通過減法運算建模：

${\displaystyle c-b=a}$

再想象一條線段，這條線段則標有數字 ${\displaystyle 1}$ 、 ${\displaystyle 2}$ 、 ${\displaystyle 3}$ 。現在從位置 ${\displaystyle 3}$ 出發，向左移動 ${\displaystyle 0}$ 個單位，仍停留在 ${\displaystyle 3}$ ，因此 ${\displaystyle 3-0=3}$ ；向左移動 ${\displaystyle 2}$ 個單位，則到達位置 ${\displaystyle 1}$ ，因此 ${\displaystyle 3-2=1}$。

此線段的局限在於，無以描述從位置 ${\displaystyle 3}$ 向左移動 ${\displaystyle 3}$ 個單位後的情況，需延長數軸（即沿用整數數軸）方可。

分數減法

分數減法類似自然數和整數的減法，但要求分母相同。若兩分數分母不同，可用通分實現：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {~{}ad-bc}{bd}}}$

實數減法

實數域可通過僅定義兩個二元運算（加法與乘法）及兩個一元運算（求加法逆元與乘法逆元）來構建。此時，從被減數中減去減數的實數運算，可定義為被減數與該減數加法逆元的加法運算。例如：

${\displaystyle 3-\pi =3+(-\pi )}$

若不依賴這些一元運算，亦可將減法與除法作為基本二元運算來處理。

抽象代數減法

向量減法

更多資訊：向量

在線性代數中，向量空間是一個允許向量相加及縮放的代數結構。所有實數的有序對組成的集合就是一個常見的向量空間：有序對 (a, b) 被解釋為歐幾里得平面上從原點到由 (a, b) 表示的點的向量。兩個向量的差是通過將對應的坐標相減完成的：(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)。

矩陣減法

更多資訊：矩陣

大小相同的兩個矩陣可以相減。兩個 m × n 矩陣 A 和 B 的差也是一個 m × n 矩陣，用 A - B 表示，由對應元素相加得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} -\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&\cdots &a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&\cdots &a_{2n}-b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&\cdots &a_{mn}-b_{mn}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

基於群論的減法

設 ${\displaystyle (G,+)}$ 為一個阿貝爾群。我們在 ${\displaystyle G}$ 中定義一個新的內合成法則，稱為「減法」並記作"−"，其定義為：

${\displaystyle x-y=x+(-y)}$

其中 ${\displaystyle -y}$ 表示元素 ${\displaystyle y}$ 的逆元。

需要注意的是，既用"-"表示元素 ${\displaystyle y}$ 的逆元 ${\displaystyle -y}$ ，又表示二元運算 ${\displaystyle x-y}$ ，屬於符號的濫用。

一般的減法運算性質在此群論框架下依然成立。

範疇論中的減法

在範疇論中，減法並沒有統一的直接對應物，但可以藉助​​態射、核（kernel）、余核（cokernel）、差分對象​​等抽象概念來表達類似於「減法」的關係。

二進制減法

在計算機科學和數字邏輯中，減法是在​​二進制數​​之間進行的，通常使用​​補碼方法來簡化運算，詳見下文「計算機算法」。

運算方法

豎式減法

從右向左相減的方法

美國豎式法

在美國所謂的「傳統教學」中，學生在一年級末（或二年級期間）會學習一種針對多位整數的特定豎式減法運算，該流程會在四年級或五年級時擴展至包含小數的分數表示形式。目前幾乎所有美國學校都教授一種使用借位（或稱為重組，即分解算法）的豎式減法，並配合一套被稱為"輔助記號"（crutches）的標記系統。^[4][5] 雖可能不願承認，中國國內的主流算法卻正是這種「美帝算法」。

用此法計算減法時，數從右向左逐位相減。具體操作步驟如下：

1. ​基本減法操作​​：用被減數（上方數字）的每一位減去減數（下方數字）對應位置的數字。
2. ​借位處理​​：當被減數的某一位數字小於減數對應位數字時（即"上方數字太小"），則：
   1. 先向該位"借10"（即在當前位數字上加10）
   2. 同時從其左邊相鄰的高位數字中"減去1"（即高位數字減1，相當於借出1個十）
3. ​連續運算​​：完成當前位的減法後，繼續處理下一數位，根據需要重複借位操作，直至完成所有數位的減法運算。

下面以計算 ${\displaystyle 753-491}$ 為例：

• 
  先看被減數與減數的個位，分別是3和1。
• 
  3和1相減，結果是2，寫在個位上。
• 
  再看兩數的十位，分別是5和9。5減不了9，怎麼辦呢？
• 
  那就向百位「借10」！
• 
  15就可以減9了，結果是6，寫在十位上。
• 
  最後看兩數的百位，被減數餘6，減數是4。
• 
  6和4相減，結果是2，寫在百位上。
• 
  可得753和491的差是262。

美國豎式法還有一種變體，名為「先借位法」，其核心是：​​在進行任何減法運算之前，先完成所有的借位操作​​。^[6]

下面以計算 ${\displaystyle 751-493}$ 為例：

• 
  依然先看被減數與減數的個位，分別是1和3。1減不了3，先從十位「借10」得11。
• 
  再看兩數的十位，被減數餘4，減數是9，同上操作得14。
• 
  11和3相減，結果是8，寫在個位上。
• 
  14和9相減，結果是5，寫在十位上。
• 
  最後看兩數的百位，餘下的6與4相減，結果是2，寫在百位上。
  可得751和493的差是258。

歐洲豎式法

部分歐洲學校採用一種稱為歐洲法（或奧地利法）的豎式減法。此法不涉及借位運算，但會根據不同國家的習慣使用各種輔助記號（幫助記憶的標記）。^[7][8]

下面以計算 ${\displaystyle 753-491}$ 為例：

• 
  先看被減數與減數的個位，分別是3和1。
• 
  3=1+2，所以結果是2，寫在個位上。
• 
  再看兩數的十位，9加什麼等於5呢？這沒有自然數解。
• 
  那就從百位「借10」！被減數「變成」了15。
• 
  顯然，15=9+6，所以結果是6，寫在十位上。
• 
  最後看兩數的百位。
• 
  7=(4+1)+2，所以結果是2，寫在百位上。
• 
  可得753和491的差是262。

從左向右相減的方法

補數法的變體

減法運算也可以從左到右進行。這種不常見的方法實際上是補數法的一種變體，其特點是在精確計算差值之前，先處理所有的借位（進位）問題。由於該方法既不需要記錄借位，也不需要記憶借位情況，因此不僅相對不易出現粗心錯誤，計算速度也非常快，甚至適用於心算。

下面以計算 ${\displaystyle 753-491}$ 為例：

• 
  先看被減數與減數的百位，7和4相減，結果是3，寫在百位上。
• 
  再看兩數的十位，5減不了9，怎麼辦呢？
• 
  當然是從百位的3「借1」！15和9相減，結果是6，寫在十位上。
• 
  最後看兩數的個位。
• 
  3和1相減，結果是2。
  可得753和491的差是262。

分步差減法

分步差減法與其他豎式減法的相異在於：它既不需要借位，也不需要進位。取而代之的是，根據被減數與減數的大小關係，在相應數位上標註正號或負號——若被減數大於減數則記為正，反之則記為負。最終，將所有數位上的分步差值（正負結果）相加，所得總和即為最終的差值結果。^[9]

下面以計算 ${\displaystyle 753-491}$ 為例：

• 
  先看被減數與減數的百位，700-400=300，寫在橫線下。
• 
  再看兩數的十位，50-90=-40，寫在橫線下「300」的下方。
• 
  接着看兩數的個位，3-1=2，寫在橫線下「-40」的下方。
• 
  最後將得到的三個新數相加：300+(-40)+2=262。
  可得753和491的差是262.

非豎式減法

遞增進數法

不同於逐位計算差值，遞增進數法通過計算減數與被減數之間的數值增量來求得差值。^[10]

示例​​：計算 ${\displaystyle 1234-567}$ 可通過以下步驟：

${\displaystyle 567+3=570}$

${\displaystyle 570+30=600}$

${\displaystyle 600+400=1000}$

${\displaystyle 1000+234=1234}$

將各步驟的遞增值相加即得總差值：${\displaystyle 3+30+400+234=667}$

分步拆解法

另一種適用於心算的方法是將減法運算拆分為多個小步驟進行計算。^[11]

示例​​：計算 ${\displaystyle 1234-567}$ 可通過以下步驟：

${\displaystyle 1234-500=734}$

${\displaystyle 734-60=674}$

${\displaystyle 674-7=667}$

恆等變換法

該方法基於"對被減數和減數同時加減相同數值不改變差值結果"的數學原理，通過調整減數至零值來簡化計算。^[12]

​​示例​​：計算 ${\displaystyle 1234-567}$ 可通過以下步驟：

${\displaystyle 1234-567}$

${\displaystyle =1237-570}$

${\displaystyle =1267-600}$

${\displaystyle =667}$