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凸分析

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凸分析
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凸分析是研究凸函數凸集性質的數學分支,其應用稱作凸優化,是最優化理論的子分支。

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3維凸多面體。凸分析不僅包括歐氏空間凸子集的研究,還包含抽象空間上凸函數的研究。

凸集

向量空間X的子集,若滿足下列任意一條等價條件,就稱其是的(convex):

  1. 是實數,,則[1]
  2. 是實數,
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區間上的凸函數

始終是以擴展實數線為值域、以某向量空間的凸子集定義域的映射。 映射,若

(凸性

對所有實數、所有都成立,稱映射f凸函數。若此不等式被替換為嚴格不等式

(凸性

f仍成立,則稱f嚴格凸的。[1] 凸函數與凸集有關。特別地,當且僅當函數f上圖(epigraph)

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當且僅當函數(黑色)的上圖(即函數圖像上方區域,綠色)是凸集時,函數是凸的。
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二元凸函數的圖像

是凸集時,函數f是凸的。[2]擴展實值函數的上圖在凸分析中的作用類似於實值函數圖像實分析中的作用。特別地,擴展實值函數的上圖提供了幾何直覺,可用於形式化或證明猜想。

函數的定義域記作有效域則是集合[2]

函數,當且僅當,稱函數是真凸函數[2]這意味着在f的定義域中存在x使f也永遠不等於。換句話說,若函數的定義域非空、永遠不取、不等於,則就是真凸函數。若真凸函數,則存在向量、實數使得

其中表示向量的點積

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凸共軛

擴展實值函數(不必凸)的凸共軛是來自X的(連續)對偶空間函數[3]

其中,括號表示規範對偶性f的雙共軛是映射,定義為X上的Y值函數記作,則定義的映射乘坐勒讓德-芬切爾變換。

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次微分集與芬切爾-揚不等式

,則次微分集(subdifferential set)為

例如,在X上的範數這一重要特例中,可以證明[proof 1]

,則此定義可簡化為:

這就是芬切爾-揚不等式,當且僅當時是等式。正是通過這種方式,次微分集與凸共軛直接相關。

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雙共軛

函數的雙共軛是共軛的共軛,一般寫作。雙共軛有助於顯示強對偶弱對偶何時成立(通過擾動函數)。

不等式符合芬切爾-揚不等式。對緊合(proper)的函數當且僅當f是凸的下半連續函數時,芬切爾–莫羅定理)。[3][4]

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凸最小化

凸最小化(主)問題形如

給定凸函數與凸子集,求
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對偶問題

優化理論中,對偶原則(duality principle)指出,優化問題可以從兩個角度分別視作主問題與對偶問題。

一般來說,給定一對分離的局部凸空間,以及函數,可以把主問題定義為求x使得

可令(其中I示性函數)將約束嵌入f。那麼讓擾動函數,使得[5]

關於所選擾動函數的對偶問題由下式給出:

其中F兩個變量的凸共軛。

對偶間隙是不等式左右兩式的差[6][5][7]

此原理同弱對偶。若兩側相等,則問題滿足強對偶。 強對偶成立的條件有很多,如

  • ,其中F是連接主問題與對偶問題的擾動函數F的雙共軛;[來源請求]
  • 主問題是線性規劃問題;
  • 凸優化問題的斯萊特條件[8][9]
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拉格朗日對偶性

對不等式約束的凸最小化問題,

subject to ,其中

其拉格朗日對偶問題是

subject to ,其中

其中目標函數是如下定義的拉格朗日對偶函數:

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另見

  • 凸性 (經濟學)
    • 非凸 (經濟學)

注釋

參考文獻

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外部連結

參考資料

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