函數方程

函數方程是含有未知函數的方程。函數方程可以有一個解，可以無解，也可以有多個解，甚至可以有無窮多個解。

例子

• 函數方程

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$

的解是黎曼ζ函數。

• 函數方程

${\displaystyle \Gamma (x)={\Gamma (x+1) \over x}\,\!}$

的解是伽瑪函數。

• 函數方程

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!}$

的解是伽瑪函數。

• 更多例子：

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$的解是所有指數函數。

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$的解是所有對數函數。

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$ (柯西函數方程)

${\displaystyle F(az)=aF(z)(1-(z))\,\!}$ (龐加萊方程)

${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$ (琴生)

${\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)\,\!}$ (達朗貝爾)

${\displaystyle f(h(x))=f(x)+1\,\!}$（阿貝爾方程（英語：Abel equation））。

解函數方程

函數方程與代數方程、微分方程不同，並沒有普遍的解法。所以這個分支也沒能發展起來。如上述的解為Gamma函數和初等函數的方程的解法完全不同。

對於二元函數方程，對其變量賦予特殊值的做法較多。

例子：解函數方程${\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}}$。

設${\displaystyle x=y=0}$：${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}}$。所以${\displaystyle f(0)^{2}=0}$，${\displaystyle f(0)=0}$。

現在，設${\displaystyle y=-x}$：

${\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}$

${\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}$

${\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}$

由於實數的平方非負，以及兩個非負數的和為零當且僅當兩個數都為零，因此對於所有x，${\displaystyle f(x)^{2}=0}$，所以${\displaystyle f(x)=0}$是唯一的解。

相關條目

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• 隱函數
• 函數方程 (L函數)（英語：Functional equation (L-function)）