分數小波變換

分數小波變換（Fractional wavelet transform，縮寫：FRWT）是傳統小波變換（Wavelet transform）的推廣。該變換的提出改進了了小波變換和分數傅里葉變換的局限性。分數小波變換繼承了傳統小波變換的多分辨率特性，同時，類似於分數傅里葉變換，可以表示分數階域的信號特徵。

定義

分數傅里葉變換（FRFT）^[1]是傅里葉變換（FT）的推廣，它在光學、通信、信號和圖像處理方面是一個強有力的分析工具。^[2]然而，由於分數傅里葉變換使用全局核函數，它只強調了存在某些成分，而沒有說明這些成分的時間定位。因此，對非平穩信號進行FRFT頻譜分析時需要在時間-FRFT域進行聯合分析。

對FRFT的一個修改時短時分數傅里葉變換（STFRFT）。^[3][4]STFRFT的思想時使用具有時間局域性的窗函數將信號分段，然後對每一段進行FRFT頻譜分析。STFRFT可以在時間-FRFT域進行聯合分析，然而，由於窗函數的長度是預先固定的，STFRFT並不能在時間域和FRFT域均提供良好的分辨率。換而言之，STFRFT的分辨率受到不確定性原理的約束^[5]，即窄窗具有較好的時間分辨率和較差的FRFT譜分辨率；寬窗具有較好的FRFT譜分辨率和較差的時間分辨率。然而多數實際信號高頻成分持續時間較短，而低頻成分持續時間較長。

Mendlovic和David推廣了小波變換，提出了分數小波變換（FRWT）。^[6]

FRWT被定義為FRFT和小波變換（WT）的級聯，即：

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{\alpha }(a,b)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} }{\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)dtdu\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\left(\int \limits _{\mathbb {R} }f(t){\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)dt\right)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F_{\alpha }(u)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\\end{aligned}}}$

其中，變換的核函數${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)}$為：

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)={\begin{cases}A_{\alpha }e^{j{\frac {u^{2}+t^{2}}{2}}\cot \alpha -jut\csc \alpha },&\alpha \neq k\pi \\\delta (t-u),&\alpha =2k\pi \\\delta (t+u),&\alpha =(2k-1)\pi \\\end{cases}}}$

其中${\displaystyle A_{\alpha }={\sqrt {{(1-j\cot \alpha )}/{2\pi }}}}$，${\displaystyle F_{\alpha }(u)}$表示${\displaystyle f(t)}$的FRFT。然而，由於時間信號在變換中丟失，這並不是時間-FRFT聯合分布。

此外，Prasad和Mahato將信號和母小波的FRFT來表達信號的WT，並稱這種表達為FRWT。^[7]即：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W_{\psi }^{\alpha }f\right)(b,a)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {t-b}{a}}\right)dt\\&={\frac {\csc \alpha }{4\pi ^{2}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F(u\sin \alpha )\Psi ^{\ast }(au\sin \alpha )e^{j{\frac {u^{2}}{4}}(1-a^{2})\sin 2\alpha -jbu}du\\\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle F(u\sin \alpha )}$和${\displaystyle \Psi (u\sin \alpha )}$表示${\displaystyle f(t)}$和${\displaystyle \psi (t)}$的傅里葉變換（參數縮放了${\displaystyle \sin \alpha }$倍）。顯然，這種所謂的FRWT與普通WT是相同的。

最近， Shi等人通過引入與FRFT有關的分數卷積^[8]提出了新的關於FRWT的定義。^[9]任意平方可積函數${\displaystyle f(t)\in L^{2}(\mathbb {R} )}$的FRFT定義為：

${\displaystyle W_{f}^{\alpha }(a,b)={\mathcal {W}}^{\alpha }[f(t)](a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi _{\alpha ,a,b}^{\ast }(t)\,dt}$

其中${\displaystyle \psi _{\alpha ,a,b}(t)}$是對母小波${\displaystyle \psi (t)}$的Chirp調製和連續仿射變換，即：

${\displaystyle \psi _{\alpha ,a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)e^{-j{\frac {t^{2}-b^{2}}{2}}\cot \alpha }}$

其中，${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+}} }$是尺度參數；${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$是位移參數。對應的逆FRWT變換為：

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi C_{\psi }}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} ^{+}}W_{f}^{\alpha }(a,b)\psi _{\alpha ,a,b}(t){\frac {da}{a^{2}}}db}$

其中${\displaystyle C_{\psi }}$是與選用的小波相關的常數，該常數決定了重建能否進行，即容許性條件（Admissibility condition）：

${\displaystyle C_{\psi }=\int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {|\Psi (\Omega )|^{2}}{|\Omega |}}\,d\Omega <\infty }$

其中${\displaystyle \Psi (\Omega )}$表示${\displaystyle \psi (t)}$的傅里葉變換。容許性條件表明${\displaystyle \Psi (0)=0}$，即${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi (t)dt=0}$。因此，連續分數小波必須表現出震盪的性質，並在分數傅里葉域中體現出帶通濾波器的特性。從這點來看，${\displaystyle f(t)}$的FRWT變換可以用FRFT域來表示，即：

${\displaystyle W_{f}^{\alpha }(a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }{{\sqrt {2\pi a}}F_{\alpha }(u)\Psi ^{\ast }(au\csc \alpha )}{\mathcal {K}}_{\alpha }^{\ast }(u,b)du}$

其中${\displaystyle F_{\alpha }(u)}$表示對${\displaystyle f(t)}$的FRFT，${\displaystyle \Psi (u\csc \alpha )}$表示${\displaystyle \psi (t)}$的傅里葉變換（參數縮放了${\displaystyle \csc \alpha }$倍）。當${\displaystyle \alpha ={\pi }/{2}}$時，FRWT退化為傳統的小波變換。文獻^[9][10]對此類FRWT進行了深入的討論。

分數小波變換的多分辨分析（MRA）

該文^[11]概述了分數小波變換及其多分辨分析。