分配上半格

在序理論中，分配並半格（英語：distributive join-semilattice）和分配交半格（distributive meet-semilattice）是分配格到半格的推廣。與分配格不同，分配並（交）半格不再是使用像分配律一樣的恆等式來定義，而通過恆等式定義實際上也是不可能做到的。^[1]

定義

對於並半格${\displaystyle (S,\vee )}$（任兩元具有上確界${\displaystyle a\vee b}$的偏序集），以下條件等價，滿足此條件的並半格稱為分配並半格。

• 對於任意${\displaystyle a,b,c\in S}$，如果${\displaystyle c\leq a\wedge b}$，那麼存在${\displaystyle a'\leq a}$和${\displaystyle b'\leq b}$使得${\displaystyle c=a'\wedge b'}$。
• ${\displaystyle S}$的序理想構成的並半格${\displaystyle \operatorname {Ideal} (L)}$是分配格。^{[2]:167, Lemma 184(iii)}

對偶地可以定義分配交半格。

性質

在分配並半格中，任意兩個元素都有下界。^{[2]:167, Lemma 184(ii)}

與分配格不同，分配並半格的類不關於子代數封閉，從而不構成簇。其實，任何由並半格構成的簇都不能推廣分配格到並半格，也就是不能使其對於格的情形與分配格一致。^[1]

例

對於格${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$，以下條件等價。

• 並半格${\displaystyle (L,\vee )}$是分配並半格。
• 格${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$是分配格。