切比雪夫偏差

在數論上，切比雪夫偏差（Chebyshev's bias）指的是說在多數時候，在給定的界限下，除4餘3的質數個數，會多於除4餘1的質數的現象。這現象最早由帕夫努季·切比雪夫於1853年觀察到。

直至${\displaystyle n\leq 30000}$為止的${\displaystyle \pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)}$的值。

敘述

設${\displaystyle \pi (x;n,m)}$為不大於x且形如${\displaystyle nk+m}$的質數的數量，那麼根據質數定理在算術數列上的推廣，有以下關係：

${\displaystyle \pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}.}$

也就是說，大約一半的質數除4餘1，另外一半則是除4餘3的。因此一個合理的猜測是${\displaystyle \pi (x;4,1)>\pi (x;4,3)}$跟${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$的發生率大約相等；然而這點並不受數據支持，實際上，${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$遠遠更常發生。像例如說對於所有小於26833且不等於5、17、41及461的x而言，${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$，而在x等於5、17、41及461的狀況下，則有${\displaystyle \pi (x;4,3)=\pi (x;4,1)}$；而第一個使得${\displaystyle \pi (x;4,1)>\pi (x;4,3)}$的x是26861，也就是說，對於任意的x < 26861而言，${\displaystyle \pi (x;4,3)\geq \pi (x;4,1)}$。

更一般地，若${\displaystyle 0<a,b<n}$是整數，其彼此的最大公因數有${\displaystyle \gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1}$這樣的關係，且a為模n的二次剩餘a為模n的二次非剩餘，那麼${\displaystyle \pi (x;n,b)>\pi (x;n,a)}$是更常發生的。這點只有在假定強形式的黎曼猜想成立的狀況下得證。

Knapowski（英語：Stanisław Knapowski）和圖蘭兩氏曾提出更強的猜想，認為使得${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$成立的x的密度為一，也就是說${\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)}$對幾乎所有的x成立；然而這兩氏提出的猜想已被否證；而實際上使之成立的數的對數密度大約為0.9959....。^[1]

推廣

相關的問題可轉化成對於${\displaystyle k=-4}$而言，使得${\displaystyle \sum _{q\leq p,\ q\ {\text{is prime}}}\left({\frac {k}{q}}\right)>0}$成立的最小質數p，其中${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)}$是克羅內克符號；然而對於任意給定的不為零的k（不僅是${\displaystyle k=-4}$），也能找使上式成立的最小質數p。從質數定理可知，對於任意非零的整數k，有無限多個質數p滿足此條件。

對於正整數${\displaystyle k=1,2,3,\cdots }$而言，最小質數p如下所示：

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... （ A306499是 A003658對於${\displaystyle k=1,5,8,12,13,17,21,24,28,29,33,37,40,41,44,53,56,57,60,61,\cdots }$的子序列）

對於負整數${\displaystyle k=1,2,3,\cdots }$而言，最小質數p如下所示：

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... （ A306500是 A003657對於${\displaystyle k=-3,-4,-7,-8,-11,-15,-19,-20,-23,-24,-31,-35,-39,-40,-43,-47,-51,-52,-55,-56,-59,\cdots }$的子序列）

對於任意非平方整數k而言，多數時候，在給定的界限下，使得${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=-1}$的質數p會多於使得${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=1}$質數p。

延伸至高次剩餘

設m和n是兩個彼此互質的正整數，那麼可定義以下函數：

$${\displaystyle f(m,n)=\sum _{p{\text{ is prime, }}p\,\mid \,\varphi (n),\ x^{p}\,\equiv \,m{\pmod {n}}{\text{ has a solution }}}\left({\frac {1}{p}}\right)}$$

其中${\displaystyle \varphi }$是歐拉函數。

這函數的一些數值如次：${\displaystyle f(1,5)=f(4,5)=1/2,f(2,5)=f(3,5)=0,f(1,6)=1/2,f(5,6)=0,f(1,7)=5/6,f(2,7)=f(4,7)=1/2,f(3,7)=f(5,7)=0,f(6,7)=1/3,f(1,8)=1/2,f(3,8)=f(5,8)=f(7,8)=0,f(1,9)=5/6,f(2,9)=f(5,9)=0,f(4,9)=f(7,9)=1/2,f(8,9)=1/3}$。

目前有猜想認為，若若${\displaystyle 0<a,b<n}$是整數，其彼此的最大公因數有${\displaystyle \gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1}$這樣的關係，且同時${\displaystyle f(a,n)>f(b,n)}$成立，那麼${\displaystyle \pi (x;n,b)>\pi (x;n,a)}$是更常發生的。