割圓術 (趙友欽)

趙友欽割圓術是元代數學家趙友欽在所著的《革象新書》卷五《乾象周髀》篇研究的割圓術。與劉徽從內接正六角形開始不同，趙氏割圓術從分割內接正方形開始^[1]。

如圖，圓的半徑為r; 內接正方形的邊長為 $\ell$ ,由圓心到正方形一邊倒垂直距離為 d

$d={\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}$

$e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}$

d 的延長線與圓周相交點將圓周等分為正八邊形。

令正八邊形的邊長為 $\ell _{2}$

$\ell _{2}={\sqrt {(\ell /2)^{2}+e^{2}}}$

$\ell _{2}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {\ell ^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-\ell ^{2}}})^{2}}}$

設 $\ell _{3}$ 為分割圓成正16邊形之邊長，趙友欽正確地推斷 $\ell _{3}$ 與 $\ell _{2}$ 的迭代關係：

$\ell _{3}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{2})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{2})^{2}}})^{2}}}$

推而廣之：

$\ell _{n+1}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{n})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{n})^{2}}})^{2}}}$

令 r=1;

$\ell _{1}={\sqrt {(}}2)$

$\ell _{2}={\sqrt {2-{\sqrt {(}}2)}}$

$\ell _{3}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}$

$\ell _{4}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}$

$\ell _{5}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}}}$

……

圓周率