勾股數

勾股數，又名商高數或勾股數（Pythagorean triple），是由三個正整數組成的數組；能符合勾股定理（畢式定理）「${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$」之中，${\displaystyle (a,b,c)}$的正整數解。而且，基於勾股定理的逆定理，任何邊長是勾股數組的三角形都是直角三角形。

如果${\displaystyle (a,b,c)}$是勾股數，它們的正整數倍數，也是勾股數，即${\displaystyle (na,nb,nc)}$也是勾股數。若果${\displaystyle (a,b,c)}$三者互質（它們的最大公因數是 1），它們就稱為素勾股數或本原勾股數組。

找出素勾股數

以下的方法可用來找出素勾股數。設${\displaystyle m>n}$、${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$均是正整數，

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}$

${\displaystyle b=2mn}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

若${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$是互質，而且${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$為一奇一偶，計算出來的${\displaystyle (a,b,c)}$就是素勾股數。（若${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$都是奇數，${\displaystyle (a,b,c)}$就會全是偶數，不符合互質。）

所有素勾股數可用上述列式當中找出，這亦可推論到數學上存在無窮多的素勾股數。

例子

以下是小於 100 的素勾股數：

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97

有些勾股數組可以有同一個最小的勾股數。第一個例子是 20 ，它在以下兩組勾股數之中出現：${\displaystyle (20,21,29)}$與${\displaystyle (20,99,101)}$。

其中最先例子是5，它在以下兩組勾股數之中出現${\displaystyle (3,4,5)}$及${\displaystyle (5,12,13)}$。

在 15,386 組素勾股數的 1229779565176982820 ，它的最小與最大的勾股數組是：

${\displaystyle 1229779565176982820}$

${\displaystyle 1230126649417435981}$

${\displaystyle 1739416382736996181}$

與

${\displaystyle 1229779565176982820}$

${\displaystyle 378089444731722233953867379643788099}$

${\displaystyle 378089444731722233953867379643788101}$

試考慮它的質因數分解

${\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47}$

它質因數的個數涉及不少素勾股數。當然，數學上存在比它大的素勾股數。

性質

對於本原勾股數組${\displaystyle (a,b,c)}$，${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$，我們有

• ${\displaystyle a,b,c}$兩兩互質
• ${\displaystyle a,b}$其中一個是3的倍數
• ${\displaystyle a,b}$其中一個是4的倍數
• ${\displaystyle a,b,c}$其中一個是5的倍數

對於第二、三、四條性質的證明：

利用完全平方數${\displaystyle \equiv 0,1{\pmod {3}}}$ 若${\displaystyle a,b}$都不是3的倍數，則${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 2{\pmod {3}}}$，導致${\displaystyle c^{2}\equiv 2{\pmod {3}}}$ 矛盾，所以${\displaystyle a,b}$一定有且只有一個數是3的倍數。

因為${\displaystyle (a,b,c)}$是本原勾股數組，所以必有${\displaystyle a,b}$一奇一偶。不妨設${\displaystyle a}$為奇數，${\displaystyle b}$為偶數，這時候對${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$兩邊同時${\displaystyle {\bmod {8}}}$，則會得到${\displaystyle b^{2}\equiv 0{\pmod {8}}}$，故${\displaystyle 4\mid b}$，所以${\displaystyle a,b}$一定有且只有一個數是4的倍數。

利用完全平方數${\displaystyle \equiv 0,1,4{\pmod {5}}}$ 若${\displaystyle a,b,c}$都不是5的倍數，則${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 0}$或${\displaystyle 2}$或${\displaystyle 3{\pmod {5}}}$，而${\displaystyle c^{2}\equiv 1}$ 或${\displaystyle 4{\pmod {5}}}$，矛盾，所以${\displaystyle a,b,c}$一定有且只有一個數是5的倍數。

證畢。

找尋勾股數的小技巧

若需要一組最小數為奇數的勾股數，可任意選取一個 3 或以上的奇數，將該數自乘為平方數，除以 2，答案加減 0.5 可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的奇數，三者必定形成一組勾股數^[1]。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能，例如${\displaystyle (27,364,365)}$並非是以 27 為起首的唯一勾股數，因為存在另一個勾股數是${\displaystyle (27,36,45)}$，同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數${\displaystyle x}$，${\displaystyle x^{2}+1}$、${\displaystyle x^{2}-1}$與${\displaystyle 2x}$，三個數必為畢氏數^[1]，例如：代入${\displaystyle x}$為2，則${\displaystyle x^{2}+1}$為5，${\displaystyle x^{2}-1}$為3，${\displaystyle 2x}$為4，${\displaystyle (3,4,5)}$為一組畢氏數。

推廣

費馬最後定理指出，若${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$，而${\displaystyle n}$是大於 2 的整數，${\displaystyle (a,b,c)}$即沒有正整數解。

參見

• 勾股定理
• 費馬最後定理
• 特殊直角三角形#常見的勾股數