升餘弦濾波器

升餘弦濾波器是一種經常用於數位調變的脈衝整形（英語：Pulse shaping）濾波器，它能夠最大限度地減少符碼間干擾（英語：Intersymbol interference）（ISI）。之所以會如此命名是因為，該濾波器的最簡形式頻譜（${\displaystyle \beta =1}$）的非零部分為餘弦函數，且被「抬升」至水平軸${\displaystyle f}$上方。

數學描述

升餘弦濾波器在各種滾降係數下的頻率響應

升餘弦濾波器在各種滾降係數下的脈衝響應

升餘弦濾波器是一種低通奈奎斯特濾波器（英語：Nyquist ISI criterion）的實作，即具有殘對稱性的濾波器，這表示它的頻譜呈現約${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$的奇對稱，${\displaystyle T}$是通訊系統的符元週期。

其頻域描述為分段定義傳遞函數，由下式給出：

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

或以餘的半正矢表示：

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$

以兩個值為特徵；滾降係數 ${\displaystyle \beta }$ 和符元率的倒數${\displaystyle T}$ 。

這種濾波器的脈衝響應^[1]由下式給出：

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

以歸一化的sinc函數表示。這裡使用的是通訊領域的定義${\displaystyle \sin(\pi x)/(\pi x)}$，而非數學領域所用的定義。

滾降係數

滾降（英語：Roll-off）係數${\displaystyle \beta }$是對濾波器帶寬過量（excess bandwidth）的度量，即所佔帶寬超過奈奎斯特頻寬${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$的部分，有些作者會使用${\displaystyle \alpha }$ 表示. ^[2]

若我們將多餘的頻寬表示為${\displaystyle \Delta f}$ ，則：

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f}$

${\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}$是符元率。

該圖顯示為${\displaystyle \beta }$在0和1之間變化的振幅響應，以及對脈衝響應的相應作用。可以看出，時域的漣波準位會隨著${\displaystyle \beta }$減少而增加，這可以減少濾波器的頻寛過量，但只能以伸長脈衝響應為代價。

${\displaystyle \beta =0}$

當${\displaystyle \beta }$靠近0時，滾降區變得無限窄，因此：

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}$

${\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}$是矩形函數，所以脈衝響應會趨近${\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}$ .因此，在這種情況下，它會收斂到理想或磚牆濾波器。

${\displaystyle \beta =1}$

當${\displaystyle \beta =1}$ ，頻譜的非零部分是純粹的升餘弦，可化簡為：

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

或

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

頻寬

升餘弦濾波器的頻寬通常定義為其頻譜的非零正頻率部分的寬度，即：

${\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

自相關函數

升餘弦函數的自相關函數如下：

${\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}$

自相關分析可用於分析各種取樣偏移量結果。

應用

連續升餘弦脈衝，顯示零ISI特性

當用於過濾符元流時，奈奎斯特濾波器具有消除 ISI 的特性，因為除了${\displaystyle n=0}$ 的情形之外，所有${\displaystyle nT}$ （${\displaystyle n}$是整數）的脈衝響應都是零。

因此，如果傳輸的波形在接收端被正確採樣，原本的符元值就可以完全恢復。

然而，在許多實際的通訊系統，由於受白雜訊之影響，會在接收器中使用匹配濾波器。對於零 ISI，發射和接收濾波器的淨響應必須等於${\displaystyle H(f)}$ ：

${\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}$

因此：

${\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}$

這些濾波器稱為根升餘弦濾波器（英語：Root-raised-cosine filter）。

升餘弦是一種常用於布拉格光纖光柵（英語：Fiber Bragg grating）的變跡濾波器。