热门问题
时间线
聊天
视角
n維球面
来自维基百科,自由的百科全书
Remove ads
n維球面是普通的球面在任意維度的推廣。它是維空間內的 維流形。特別地,0維球面就是直線上的兩個點,1維球面是平面上的圓,2維球面是三維空間內的普通球面。高於2維的球面有時稱為超球面。中心位於原點且半徑為單位長度的 維球面稱為單位n維球面,記為 。用符號來表示,就是:

Remove ads
描述
對於任何自然數 ,半徑為 的 維球面定義為 維歐幾里得空間中到某個定點的距離等於常數 的所有點的集合,其中 可以是任何正的實數。它是 維空間內的 維流形。特別地:
Remove ads
維空間中的點定義了一個 維球面(),由以下方程表示:
其中 是中心點, 是半徑。
以上的 維球面在 維空間中存在,是 維流形的一個例子。半徑為 的 維球面的體積形式 由下式給出:
其中*是霍奇星算子(關於討論和這個公式在 的情形下的證明,請參見Flanders (1989,§6.1))。因此,
Remove ads
由 維球面所包圍的體積,稱為 維球體。如果把球體的表面包括在內,則 維球體是封閉的,否則是開放的。
特別地:
n維球體的體積
維球面所包圍的體積(維球體的體積)由以下公式給出:
- ,
由此可以推出,對於給定的 ,常數 的值為:
- (對於偶數 ),
- (對於奇數 )。
這個 維球面的表面積是:
維球面的表面積和體積之間有以下的關係:
從此可以推導出遞推關係:
這些公式也可以直接從 維球坐標系中的積分推出(Stewart 2006,第881頁)。
Remove ads
對於較小的,半徑為的維球體體積為如下:
= = = = = = = = =
但當 趨於無窮大時, 趨於0。
如果維度 不限於整數,那麼 維球面的體積就是n的連續函數,它的極大值位於,體積為5.277768...。當 或 時,體積為1。
單位 維球面的外切超正方體的邊長為2,因此體積為 ;當維度增加時, 維球面的體積與外切於它的超正方體的體積之比單調減少。
Remove ads
超球坐標系
我們可以定義 維空間內的坐標系統,與3維空間內的球坐標系類似,由徑向坐標 和個角度坐標 組成。如果 是笛卡兒坐標系,那麼我們可以定義:
從中可以推出逆變換的公式:
注意最後一個角的值域為,而其它角的值域為。這個值域覆蓋了整個球面。
以上 維球體的體積方程可以通過積分來重新得出:
–維球面的體積元素是2維球面的面積元素的推廣,由以下公式給出:
Remove ads
球極平面投影
就像三維空間中的二維球面可以通過球極平面投影映射到二維平面上一樣,一個n維球面也可以通過球極平面投影的 維形式映射到 維超平面。例如,半徑為1的二維球面上的點映射到平面上的點。也就是說:
類似地,半徑為1的 維球面的球極平面投影映射到垂直於軸的維超平面:
Remove ads
參見
參考文獻
- Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications, 1989, ISBN 978-0-486-66169-8.
- Moura, Eduarda; Henderson, David G., Experiencing geometry: on plane and sphere, Prentice Hall, 1996 [2008-09-13], ISBN 978-0-13-373770-7, (原始內容存檔於2008-07-04)(第20章:3-spheres and hyperbolic 3-spaces)
- Weeks, Jeffrey R., The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds, Marcel Dekker, 1985, ISBN 978-0-8247-7437-0(第14章:The Hypersphere)
- Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.
- Stewart, James, Calculus: Concepts and Contexts 3rd, Thomson/Brooks/Cole, 2006.
外部連結
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads