卡塔蘭常數

卡塔蘭常數 G，是一個偶爾出現在組合數學中的常數，定義為：

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots }$

卡塔蘭常數

識別
符號	${\displaystyle G}$
位數數列編號	A006752
性質
定義	${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}}$
表示方式
值	0.915965594
二進制	0.111010100111110010111000…
八進制	0.724762704764023272042441…
十進制	0.915965594177219015054603…
十六進制	0.EA7CB89F409AE845215822E3…
閱 論 編

其中β是狄利克雷β函數（英語：Dirichlet_beta_function）。它的值大約為：^[1]

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前還不知道G是有理數還是無理數。

積分恆等式

一些恆等式包括：

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}{\rm {d}}t}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}{\rm {d}}t}$

還有

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,{\rm {d}}x}$

其中${\displaystyle K(x)\,}$是第一類完全橢圓積分，

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}{\rm {d}}x}$

應用

G出現在組合數學中，也出現在第二多伽瑪函數（也稱為三伽瑪函數）的值中。

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G}$

Simon Plouffe給出了無窮多個含有三伽瑪函數、${\displaystyle \pi ^{2}}$和卡塔蘭常數的恆等式。

快速收斂級數

以下兩個級數收斂得很快，可以用於計算卡塔蘭常數的值：

${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-}$
	${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)}$

以及

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}$

已知的位數

已知的位數

日期	位數	計算者
2009年4月16日	31,026,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2009年1月31日	15,510,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2008年8月	10,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[3]
2006年10月	5,000,000,000	Shigeru Kondo[4]
2002年	201,000,000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001年	100,000,500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
1998年1月4日	12,500,000	Xavier Gourdon
1997年	3,379,957	Patrick Demichel
1996年	1,500,000	Thomas Papanikolaou
1996年9月29日	300,000	Thomas Papanikolaou
1996年8月14日	100,000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996年	50,000	Greg J. Fee
1990年	20,000	Greg J. Fee
1913年	32	James W. L. Glaisher
1877年	20	James W. L. Glaisher