反幺正算符

在線性代數中，一個反幺正算符是復希爾伯特空間上的反雙線性映射，

${\displaystyle \Omega :H\rightarrow H}$

對任意${\displaystyle \Psi ,\Phi \in H}$，滿足，

${\displaystyle \langle \Omega \Psi |\Omega \Phi \rangle =\langle \Phi |\Psi \rangle }$

反幺正算符常在量子理論中被用於表示某些對稱性，例如時間反轉。^[1] 維格納定理進一步證明了它們在量子物理學中的根本重要性。

復共軛算符

復共軛算符${\displaystyle K}$是複平面上的反幺正算符，滿足${\displaystyle Kz=z^{*}}$，${\displaystyle zK^{*}=z^{*}}$。這意味着${\displaystyle K^{2}=K^{*2}=1}$。

可以認為，${\displaystyle K^{*}I}$是對偶矢量空間中的算符。^[2]

對於復希爾伯特空間上的一組正交基，

${\displaystyle \langle m|K^{*}IK|n\rangle =\langle (IK)m|(IK)n\rangle =\delta _{mn}}$

可以證明在基底的幺正變換和反幺正變換下，這一等式不變。

反幺正算符

對於一個反幺正算符${\displaystyle \Omega }$，${\displaystyle U=\Omega K}$是一個幺正算符；對幺正算符${\displaystyle U}$，${\displaystyle \Omega =UK}$是一個反幺正算符。

厄密共軛

定義幺正算符${\displaystyle \Omega =UK}$的厄密共軛為${\displaystyle \Omega ^{\dagger }=K^{*}U^{\dagger }}$，這意味着，

${\displaystyle \langle m|\Omega ^{\dagger }n\rangle =\langle n|\Omega m\rangle ^{*}}$

所以，對任意${\displaystyle \Psi ,\Phi \in H}$，

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Omega \Psi |\Phi \rangle &=\langle \Phi |\Omega \Psi \rangle ^{*}\\&={\Bigl (}\sum _{m,n}\langle m|B_{m}^{*}UKA_{n}|n\rangle {\Bigr )}^{*}\\&={\Bigl (}\sum _{m,n}\langle m|B_{m}^{*}UA_{n}^{*}K|n\rangle {\Bigr )}^{*}\\&=\sum _{m,n}\langle n|K^{*}A_{n}U^{\dagger }B_{m}|m\rangle =\langle \Psi |K^{*}U^{\dagger }\Phi \rangle =\langle \Psi |\Omega ^{\dagger }\Phi \rangle \end{aligned}}}$

根據定義，有${\displaystyle \Omega ^{\dagger }\Omega =K^{*}IK}$，這意味着，

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Omega \Psi |\Omega \Phi \rangle &=\sum _{m,n}\langle m|A_{m}^{*}K^{*}IKB_{n}|n\rangle \\&=\sum _{m,n}A_{m}B_{n}^{*}\left(\langle m|K^{*}IK|n\rangle \right)\\&=\langle \Phi |\Psi \rangle \end{aligned}}}$

與反幺正算符的定義式相符。

基矢變換

幺正算符的定義前後自洽的重要前提是對於對於復希爾伯特空間上的任意一組正交基，恆等式${\displaystyle \langle m|K^{*}IK|n\rangle =\delta _{mn}}$都成立。這需要從兩個角度證明。

基矢做幺正變換

對基底${\displaystyle \{|n\rangle \}}$做幺正變換${\displaystyle |n'\rangle ={\textstyle \sum }_{m}U_{nm}|m\rangle }$，得到一組新的基底${\displaystyle \{|n'\rangle \}}$，

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle m'|K^{*}IK|n'\rangle &=\sum _{m,n}\langle m|U_{m'm}^{*}K^{*}IKU_{n'n}|n\rangle \\&=\sum _{m,n}U_{m'm}U^{*}{}_{n'n}\left(\langle m|K^{*}IK|n\rangle \right)\\&=\sum _{m,n}U_{m'm}U^{*}{}_{n'n}\delta _{mn}\\&=\delta _{m'n'}\end{aligned}}}$

可見${\displaystyle \langle m'|K^{*}IK|n'\rangle =\delta _{m'n'}}$依然成立。

基矢做反幺正變換

由於已經證明了基底在幺正變換下仍然滿足上述等式，且反幺正算符可以分解為幺正算符右乘復共軛算符${\displaystyle K}$，只需要說明基底在復共軛算符${\displaystyle K}$作用下依然滿足上述等式，該陳述顯然是正確的，因為，

${\displaystyle \langle m'|K^{*}IK|n'\rangle =\langle m|I|n\rangle =\delta _{mn}}$

參見

• 共軛轉置
• 厄米矩陣
• 矩陣分解
• 么正群
• 么正算符
• 辛矩陣