可分離變量的微分方程

${\displaystyle }$可分離變量的微分方程也叫做變量分離方程，指的是形如 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)}$的方程.

主條目：分離變數法

等價定義

可化為${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$的方程，稱為可分離變量的微分方程.

一般解法(求通解)

分離變量法：

對${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)}$，若${\displaystyle \varphi (y)\neq 0}$則 ${\displaystyle {\frac {dy}{\varphi (y)}}=f(x)dx}$，兩邊取不定積分，得 ${\displaystyle \int {\frac {dy}{\varphi (y)}}=\int f(x)dx\,+c}$，這裡${\displaystyle \int {\frac {dy}{\varphi (y)}}}$和${\displaystyle \int f(x)dx\,}$理解為某個確定的原函數，${\displaystyle c}$為任意常數.

對${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$也是一樣的解法.

初值問題（求特解）

1.不定積分法

以${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$為例，若給初始條件${\displaystyle y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}}$,則對${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$兩邊取不定積分，得

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+c}$,將初始條件代入,求得

${\displaystyle c=c_{0}}$,再代回原方程即得所要求的特解${\displaystyle F(x,y)}$.

2.變上限積分法

仍以${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$為例，若給初始條件${\displaystyle y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}}$,對${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$兩邊取不定積分，得

${\displaystyle G(y)=F(x)+c}$,其中${\displaystyle G(y),F(x)}$分別為${\displaystyle g(y),f(x)}$的一個原函數，代入初始條件，有

${\displaystyle G(y_{0})=F(x_{0})+c\Rightarrow c=G(y_{0})-F(x_{0})}$,代回原方程得特解為${\displaystyle G(y)=F(x)+G(y_{0})-F(x_{0})}$,即

${\displaystyle G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})}$,根據牛頓—萊布尼茨公式，可知

${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}g(u)du=\int _{x_{0}}^{x}f(v)dv}$,在不混淆的時候，可寫為

${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx}$.

所以可以用兩邊取變上限積分的方法求這類初值問題.

若又給條件${\displaystyle y\mid _{x=x_{1}}=y_{1}}$,將此條件代入${\displaystyle G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})}$,得

${\displaystyle G(y_{1})-G(y_{0})=F(x_{1})-F(x_{0})}$,即

${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y_{1}}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx}$.

參考資料

1.《常微分方程（第三版）》王高雄、周之銘等編 高等教育出版社

2.《高等數學（第六版）》同濟大學

3.《微積分（第二版）》同濟大學應用數學系

4.《微積分學習指導書》同濟大學應用數學系