唯一質數

唯一素數（Unique prime）是指一個不為2、5（在十進位時），且有以下性質的質數p：不存在其他質數q，其倒數1 / q的循環節長度和1 / p的循環節長度相等。唯一素數是在1980年代由Samuel Yates所提出。

可以證明素數p其倒數的循環節長度為n若且唯若存在一自然數c使得下式成立（下面內容僅限於十進制範疇）：

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}=p^{c}}$

其中Φ_n(x)為n次的分圓多項式。至2010年為止，已經找到逾50個唯一素數或者有此性質的可能質數，但是小於10¹⁰⁰的唯一素數只有23個。以下是這些唯一素數（OEIS數列A040017）及其循環節位數（OEIS數列A051627）：

倒數循環節長度	素數
1	3
2	11
3	37
4	101
10	9,091
12	9,901
9	333,667
14	909,091
24	99,990,001
36	999,999,000,001
48	9,999,999,900,000,001
38	909,090,909,090,909,091
19	1,111,111,111,111,111,111
23	11,111,111,111,111,111,111,111
39	900,900,900,900,990,990,990,991
62	909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120	100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001
150	10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001
106	9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93	900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134	909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294	142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143
196	999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001

倒數循環節長度294位的唯一素數類似7的倒數（0.142857142857142857...）。

接續上表的第24個唯一素數有128位，倒數循環節長度為320位，可以寫成(9₃₂0₃₂)₂+1，其中下標n表示前面的一個數字或一組數字會重覆出現n次。

所有循環單位素數都是唯一素數。依照循環單位素數及循環單位可能素數出現的頻率來看，唯一素數非常的少見，不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素數。

至2010年為止，循環單位(10²⁷⁰³⁴³-1)/9是已知最大的可能唯一素數^[1]。

至1996年為止，確定是質數的最大唯一素數是(10¹¹³² + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示為(99990000)₁₄₁+ 1，其倒數循環節長度為為2264位，後來陸續證明更大的唯一素數，至2010年為止，確定是質數的最大唯一素數有10081位數^[2]。

二進制中的唯一質數

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ...... （OEIS數列A144755）：

其循環節長度分別為： 2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ......（OEIS數列A161508）：

這當中包含了所有費馬質數(循環節長度為2的乘方)，梅森質數(循環節長度為質數)及瓦格斯塔夫質數(循環節長度為奇質數的兩倍)

以下為不超過2⁶⁴之二進制唯一質數列表：

倒數循環節長度	素數	二進位表示法
2	3	11
4	5	101
3	7	111
10	11	1011
12	13	1101
8	17	1 0001
18	19	1 0011
5	31	1 1111
20	41	10 1001
14	43	10 1011
9	73	100 1001
7	127	111 1111
15	151	1001 0111
24	241	1111 0001
16	257	1 0000 0001
30	331	1 0100 1011
21	337	1 0101 0001
22	683	10 1010 1011
26	2,731	1010 1010 1011
42	5,419	1 0101 0010 1011
13	8,191	1 1111 1111 1111
34	43,691	1010 1010 1010 1011
40	61,681	1111 0000 1111 0001
32	65,537	1 0000 0000 0000 0001
54	87,211	1 0101 0100 1010 1011
17	131,071	1 1111 1111 1111 1111
38	174,763	10 1010 1010 1010 1011
27	262,657	100 0000 0010 0000 0001
19	524,287	111 1111 1111 1111 1111
33	599,479	1001 0010 0101 1011 0111
46	2,796,203	10 1010 1010 1010 1010 1011
56	15,790,321	1111 0000 1111 0000 1111 0001
90	18,837,001	1 0001 1111 0110 1110 0000 1001
78	22,366,891	1 0101 0101 0100 1010 1010 1011
62	715,827,883	10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
31	2,147,483,647	111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
80	4,278,255,361	1111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0001
120	4,562,284,561	1 0000 1111 1110 1110 1111 0000 0001 0001
126	77,158,673,929	1 0001 1111 0111 0000 0011 1110 1110 0000 1001
150	1,133,836,730,401	1 0000 0111 1111 1101 1110 1111 1000 0000 0010 0001
86	2,932,031,007,403	10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
98	4,363,953,127,297	11 1111 1000 0000 1111 1110 0000 0011 1111 1000 0001
49	4,432,676,798,593	100 0000 1000 0001 0000 0010 0000 0100 0000 1000 0001
69	10,052,678,938,039	1001 0010 0100 1001 0010 0101 1011 0110 1101 1011 0111
65	145,295,143,558,111	1000 0100 0010 0101 0010 1001 0110 1011 0101 1011 1101 1111
174	96,076,791,871,613,611	1 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
77	581,283,643,249,112,959	1000 0001 0001 0010 0010 0110 0100 1100 1101 1001 1011 1011 0111 0111 1111
93	658,812,288,653,553,079	1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0111
122	768,614,336,404,564,651	1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
61	2,305,843,009,213,693,951	1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
85	9,520,972,806,333,758,431	1000 0100 0010 0001 0100 1010 0101 0010 1011 0101 1010 1101 0111 1011 1101 1111
192	18,446,744,069,414,584,321	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001