設
是一個緊豪斯多夫空間,
是一個希爾伯特空間,
是
上有界算子所構成的巴拿赫空間。對於
上的博雷爾 σ-代數
到
的映射
,若它是弱可數可加的,也就是說若對於任何不相交的博雷爾集序列
有
則稱其為是一個算子值測度。關於此類測度性質的一些術語是:
稱為是正則的,若標量值測度
是一正則的博雷爾測度。這意味着所有緊集都有有限的總變差,並且集合的測度可由開集的測度來逼近。
稱為是有界算子值測度,若
。
稱為是正算子值測度,若對於任意
而言
都是正算子。
稱為是自伴算子值測度,如果任意
而言
都是自伴算子。
稱為是譜測度,如果
是自伴的,且
對任意
成立。
下面將始終假設
是正則的。
令
表示
上連續函數所構成的交換C*-代數。如果
正則且有界,則它可導出一個映射
如下:
反過來也可以從一個有界線性映射確定出一個有界、正則的有界算子值測度,它們有一一對應關係。
的有界性意味着,對於所有範數為一的
,有
由此可見對於任意
給出的
都是有界算子,且
本身也是一個有界線性映射。
的性質與
的性質直接相關:
- 若
是正的,則
作為C*-代數之間的映射而言也是正的。
- 根據定義,
成為一個同態的條件是:對於任意的
上連續函數
以及
,
取
為博雷爾集的指示函數,可發現上述條件要求
是一個譜測度。
- 類似地,
與*運算相容是指
等號左端是
而右端是
於是,通過在一個單增收斂於
的指示函數的連續函數序列中取
,可得
,即
是自伴的。
- 結合前兩個事實可以得出以下結論:當且僅當
是自伴的且譜的 (這樣的
被稱為投影值測度),
才成為*-同態。