子序列

在數學中，某個序列的子序列是從最初序列通過去除某些元素但不破壞餘下元素的相對位置（在前或在後）而形成的新序列。

正式地說，假設 X 是集合而 (a_k)_{k ∈ K} 是 X 中的序列，其中若 (a_k) 是有限序列，則 K = {1,2,3,...,n}；若 (a_k) 是無限序列，則K = ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 。則 (a_k) 的子序列是形如 ${\displaystyle (a_{n_{r}})}$ 的序列，這裡的 (n_r) 是在索引集合 K 中嚴格遞增序列。

定義

假設有一條數列${\displaystyle X_{n}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots )}$。可以在裡面抽出指定的項組成新的子數列，${\displaystyle X_{n}'=(x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},\cdots )}$。

因為${\displaystyle X_{n}=(x_{n})}$，${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$是自然數，而且它會隨着項數增加而增加，所以它的子數列${\displaystyle X_{n}'=(x_{n_{k}})}$，${\displaystyle n_{k}\in \mathbb {N} }$都會隨着項數增加而增加。

注意：子數列的次序必須和主數列的次序一樣。

例子

${\displaystyle X_{n}=(1,2,3,4,5,6,7,8\cdots )}$，只抽出雙數項，就會有子數列。${\displaystyle X_{n}'=(2,4,6,8\cdots )}$。

性質

有二種定義

定義一

令 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 為一任意序列及 ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots }$ 皆為自然數。那麼，稱序列

${\displaystyle a_{n_{1}},a_{n_{2}},a_{n_{3}},\cdots }$

是 ${\displaystyle (a_{n})}$ 的一子序列。其符號表示為 ${\displaystyle (a_{n_{j}})}$，其中 ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ 是子序列的索引。

定義二

對任意兩序列 ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 及 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，稱 ${\displaystyle (y_{n})}$ 是 ${\displaystyle (a_{n})}$ 的一子序列若且唯若

1. ${\displaystyle (y_{n})}$ 是由 ${\displaystyle (a_{n})}$ 的元素所組成。
2. 存在一嚴格遞增函數 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$，使得對所有 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$， ${\displaystyle y_{n}=a_{f(n)}}$

例子

令 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 為一序列

${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots \right)}$

那麼，以下序列

${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{9}},\cdots \right)}$

是 ${\displaystyle (a_{n})}$ 的子序列之一。對應定義里的自然數子序列 ${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3},\cdots )}$ 為 ${\displaystyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$，而所對應的映射函數為 ${\displaystyle f(n)=n^{2}}$。

參考文獻

• （英文）Stephen Abbott, Understanding Analysis, Springer, 2010, ISBN 978-1441928665

參見

• 序列
• 子序列極限
• 上極限和下極限
• Erdős–Szekeres定理

引用

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