局部有限群

在數學的群論中，局部有限群是群的一種，研究方法與有限群相似。局部有限群的西羅子群、卡特子群（英語：Carter subgroup）、阿貝爾子群等都有被研究。

定義和初步結果

一個群稱為局部有限群，如果任意有限生成子群都是有限群。

由於局部有限群的循環子群都是有限群，所以局部有限群的每個元素的階都是有限，因此局部有限群是週期群（英語：periodic group）。

例子和非例子

以下是局部有限群的例子：

• 有限群
• 無限個有限群的直和(Robinson 1996，第443頁)（但是其直積未必是局部有限）
• ω-範疇群（Omega-categorical group）
• 普呂弗群（英語：Prüfer group）
• 哈密頓群（英語：Hamiltonian group）
• 週期可解群
• 局部有限群的任何子群
• 霍爾泛群（英語：Hall's universal group）是一個可數局部有限群，包含每個可數局部有限群為其子群。
• 每個群都有唯一極大正規局部有限子群(Robinson 1996，第436頁)
• 在複數上的一般線性群的任何週期子群都是局部有限群。^[1]

非例子：

• 有無限階元素的群
• 塔斯基魔群（英語：Tarski monster group）是週期群，但不是局部有限。

性質

局部有限群的類對於子群、商群、群擴張是封閉的。(Robinson 1996，第429頁)

局部有限群適合較弱形式的西羅定理。若一個局部有限群有一個有限p-子群不包含在其他p-子群內，則所有極大p-子群都是有限和共軛的。若其共軛的數目有限，則此數對於模p同餘於1。(Robinson 1996，第429頁)其實若一個局部有限群的每個可數子群都僅有可數個極大p-子群，則這個群的所有極大p-子群都共軛。(Robinson 1996，第429頁)