巴尼斯G函數

巴尼斯G函數是超級階乘函數在複數上的擴展。它與Γ函數、K函數以及格萊舍常數（Glaisher constant）有關。以數學家歐尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。^[1]

巴尼斯G函數可以通用魏爾施特拉斯分解定理的形式定義為：

${\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-[z(z+1)+\gamma z^{2}]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right].}$

其中，γ表示歐拉-馬歇羅尼常數。

差分方程、函數方程與特殊值

巴尼斯G函數滿足差分方程

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)G(z).}$

特殊地，G(1)=1. 從此方程可推出G取整數自變量時有：

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\mbox{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}.}$

因此，

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}.}$

其中，${\displaystyle \Gamma (n)}$表示Γ函數，${\displaystyle K(n)}$表示K函數。

另外，在滿足條件${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}G(x)\geq 0}$時，差分方程唯一確定一個G函數。^[2].

由G函數的差分方程和Γ函數的函數方程可以得到（由Hermann Kinkelin提出）：

${\displaystyle G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

乘法公式

與Γ函數一樣，G函數也有其乘法公式：${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right).}$

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right).}$

其中K是一個常數，定義為：

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

其中${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$表示黎曼ζ函數的導函數，${\displaystyle A}$則表示為格萊舍常數。

${\displaystyle \log \,G(z+1)}$可漸近展開為（由巴尼斯提出）：

${\displaystyle \log G(z+1)={\frac {1}{12}}-\log A+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +\left({\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right)\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}+O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).}$

其中${\displaystyle B_{k}}$為伯努利數，${\displaystyle A}$為格萊舍常數。（需要注意的是，在巴尼斯的時代，伯努利數${\displaystyle B_{2k}}$習慣寫成${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$。）

相關條目

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