布羅卡問題

提示：此條目的主題不是布羅卡猜想。

布羅卡問題（英語：Brocard's problem）是數學中的一個問題，旨在尋找使 ${\displaystyle n!+1}$ 成為完全平方數的整數 ${\displaystyle n}$ ，其中 ${\displaystyle n!}$ 表示階乘。目前僅知三組解：4、5、7，且尚不清楚是否存在更多解。

更正式地說，它尋找整數對 ${\displaystyle n}$ 和 ${\displaystyle m}$，使得$${\displaystyle n!+1=m^{2}}$$

該問題由亨利·布羅卡於1876年與1885年的兩篇論文中提出^[1][2]，並於1913年由斯里尼瓦瑟·拉馬努金獨立提出^[3]。

布朗數

解決布羅卡問題的數對 ${\displaystyle (n,m)}$ 由柯利弗德·皮寇弗於1995年著作《通往無限的鑰匙》（Keys to Infinity）中命名為布朗數（Brown numbers），此命名源於他從凱文·S·布朗（Kevin S. Brown）處獲悉該問題^[4]。截至2022年10月，目前僅知有三組布朗數：

$${\displaystyle (4,5),\;(5,11),\;(7,71)}$$

基於下列等式

$${\displaystyle 4!+1=5^{2}=25}$$ $${\displaystyle 5!+1=11^{2}=121}$$ $${\displaystyle 7!+1=71^{2}=5041}$$

艾狄胥·帕爾推測不存在其他解法^[5]。計算搜索已進行至一兆次，仍未發現更多解法^[6][7][8]。

與abc猜想的關聯

若abc猜想成立，則布朗數僅有有限個^[9]。更普遍而言，abc猜想亦將推導出： $${\displaystyle n!+A=k^{2}}$$ 對於任何給定的整數 ${\displaystyle A}$，其解數目僅為有限個^[10]，且 $${\displaystyle n!=P(x)}$$ 對於任何給定的整係數多項式 ${\displaystyle P(x)}$，其次數至少為2時，僅存在有限個整數解。