希帕索斯

梅塔彭圖姆（英語：Metapontum）的希帕索斯（古希臘語：Ἵππασος ὁ Μεταποντῖνος，約530年—約450年）^[1]，古希臘哲學家、數學家，畢達哥拉斯的早期追隨者之一。^[2][3]關於他的生平和思想，歷史記載甚少，但他有時被認為是無理數的發現者。據說無理數的發現是對畢達哥拉斯學派的一次重大衝擊，而傳說希帕索斯因泄露這一發現並將其歸功於自己而非畢達哥拉斯而遭到神明懲罰，最終溺死於大海。然而，少數記載了這一故事的古代文獻要麼沒有提及希帕索斯的名字（如帕普斯），^[4]要麼聲稱他是因為揭示了如何在球體內構建十二面體而被溺死。^[5]需要注意的是，沒有任何古代學者明確將無理數的發現歸功於希帕索斯。

希帕索斯的雕版畫，吉羅拉莫·奧爾賈蒂（英語：Girolamo Olgiati）於1580年創作

生平

關於希帕索斯的生平所知甚少。他可能生活於公元前5世紀晚期，比畢達哥拉斯晚約一個世紀。大希臘的梅塔彭圖姆（英語：Metapontum）通常被認為是他的出生地，^{[6][7][8][9][10]}儘管根據公元3世紀的楊布里科斯的說法，有些人認為他出生於梅塔彭圖姆，而另一些人認為他出生於附近的克羅頓。^[11]在楊布里科斯列舉的各城畢達哥拉斯學派成員名單中，希帕索斯被歸於錫巴里斯。^[12]此外，他還指出，希帕索斯是畢達哥拉斯學派中「數學派」（μαθηματικοί）的創始人，與「聲聞派」（ἀκουσματικοί）對立；^[13]但在其他地方，他又將希帕索斯表述為「聲聞派」的創始人，與「數學派」對立。^[14]

楊布里科斯提及了希帕索斯之死：

據說希帕索斯是一位畢達哥拉斯學派成員，並且由於他是第一個公開描述球內接正十二面體的人，他因不敬而溺死於大海。然而，這一發現的榮譽歸於他，儘管實際上這一切都屬於「他」。（在這種情況下，「他」指的是畢達哥拉斯，但並不直接稱呼他的名字。）^[15]

楊布里科斯的《畢達哥拉斯生平》則記載：^[16]

哲學也有兩種形式，分別屬於追求它的兩類人：聲聞派和數學派。後者被其他人公認為畢達哥拉斯學派的成員，但數學派並不承認聲聞派的教義源自畢達哥拉斯，而是源自希帕索斯。聲聞派的哲學由未經證明和推理過程的「聲聞」組成，因為它只是命令某事以特定方式完成，並要求他們將其他他說過的事物視為神聖教義而努力保存下來。在這種哲學中，記憶被視為最有價值的能力。這些「聲聞」大致分為三種：一種表明事物是什麼；另一種表明事物的本質是什麼；最後一種則表明什麼應該或不應該去做。

信條

亞里士多德提到希帕索斯認為火（英語：Fire (classical element)）是萬物之源；^[17]而塞克斯圖斯·恩丕里柯則將他與畢達哥拉斯學派進行對比，指出希帕索斯認為「第一原理」是物質性的，而畢達哥拉斯學派則認為它是非物質的（即數）。^[18]據第歐根尼·拉爾修所述，希帕索斯相信「宇宙中的變化在一定時間內完成，宇宙是有限且永遠處於運動中的。」^[7]有一種說法認為希帕索斯沒有留下任何著作；^[7]另一個說法則稱他是《神秘言論》的作者，該書旨在詆毀畢達哥拉斯的聲譽。^[19]

柏拉圖的《斐多篇》的一個腳註提到希帕索斯是樂理的早期實驗者，稱他利用青銅圓盤發現了樂音的基本比例：4:3、3:2和2:1。^[20]

無理數

希帕索斯有時被認為是無理數的發現者，據稱在這一發現之後，他溺死於大海。畢達哥拉斯學派宣揚「萬物皆數」，即所有數都可以表示為兩個整數之比，而無理數的發現據說令他們震驚。然而，將這一發現歸於希帕索斯的證據並不明確。

公元4世紀的帕普斯僅表示無理數的知識起源於畢達哥拉斯學派，並且首位泄露這一秘密的成員溺死於大海。^[21]公元3世紀的楊布里科斯則給出了一系列自相矛盾的記載：在一個故事中，他解釋說一位畢達哥拉斯學派成員因泄露無理數的本質而被驅逐；但隨後他引用了一個傳說，稱一位畢達哥拉斯學派成員因公開球體內正十二面體的構造而溺死於大海。^[22]在另一個版本中，據說是希帕索斯因泄露十二面體的構造並將此發現歸功於自己而溺亡；^[23]而在另一個故事中，同樣的懲罰則降臨到泄露無理數知識的畢達哥拉斯派成員身上。^[24]楊布里科斯明確表示，溺死於大海是神明對不敬行為的懲罰。^[22]

這些故事通常被綜合起來，將無理數的發現歸功於希帕索斯，但他是否真的發現了無理數仍不確定。^[25]原則上，這些故事可以結合在一起，因為在構造正十二面體時確實有可能發現無理數。通過無限的互相減除，無理性可以在正五邊形的黃金比例中輕易顯現出來。^[26]

20世紀早期，一些學者將${\displaystyle {\sqrt {2}}}$（2的平方根）無理性的發現歸功於希帕索斯。柏拉圖在《泰阿泰德篇》^[27]中描述了約前400年的西奧多羅斯如何證明了${\displaystyle {\sqrt {3}}}$、${\displaystyle {\sqrt {5}}}$直到${\displaystyle {\sqrt {17}}}$的無理性，這表明一位更早的數學家已經證明了${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的無理性。^[28]亞里士多德提到了證明${\displaystyle {\sqrt {2}}}$無理性的方法，^[29]而在歐幾里得《幾何原本》第十卷末尾插入的命題中則給出了這一證明的完整形式，^[30]這表明這種證明方法無疑是古代的。^[31]該方法是一種反證法，它通過假設正方形對角線與邊長是可通約的（即可以表示為整數之比），然後推導出一個悖論：同一個數既是奇數又是偶數。^[31]

在現代作家筆下，這種將模糊的古代記載與現代猜測結合的做法，有時演變成了一個更為生動且誇張的故事。一些作家描述希帕索斯在船上發現了無理數，結果他的畢達哥拉斯學派同伴將他扔下海。^[32]而一位作家甚至寫道，畢達哥拉斯本人因希帕索斯證明${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是無理數而判處他溺死「永遠蒙羞」。^[33]

參見

• 第一次數學危機