冪零元

此條目的主題是環論中的冪零元。關於群論中的冪零群，請見「冪零群」。

在抽象代數中，對環 ${\displaystyle R}$ 的一個元素 ${\displaystyle x}$ ，若存在一個正整數 ${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle x^{n}}$ 等於環 ${\displaystyle R}$的加法單位元時，稱 ${\displaystyle x}$ 是一個冪零元（英語：nilpotent element）。

例子

• 首先來看一個矩陣中的例子。在3階方陣中，矩陣：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

是一個冪零元，因為 ${\displaystyle A^{3}=0}$。

• 在商環Z/9Z中，同餘類3是一個冪零元，因為3²是同餘類0。
• 對不滿足交換律的環 ${\displaystyle R}$中，如果元素 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 滿足 ${\displaystyle ab=0}$ ，那麼元素 ${\displaystyle c=ba}$（如果非零的話）是一個冪零元，因為 ${\displaystyle c^{2}=(ba)(ba)=b(ab)a=0}$ 。在矩陣環中的一個例子是：

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}},\;\;A_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\ }$

其中 ${\displaystyle A_{1}A_{2}=0,\;(A_{2}A_{1})^{2}=0}$

性質

在非平凡的交換環中，冪零元不可能是乘法的可逆元。每個冪零元顯然都是零因子。

在交換環中，所有的冪零元組成一個理想，稱作這個環的詣零根（英語：Nilradical of a ring）。每個素理想都包含所有的冪零元，實際上，所有素理想的交集就是環的詣零根。

如果 ${\displaystyle x}$ 是冪零元，那麼 ${\displaystyle 1-x}$ 是一個可逆元，因為由 ${\displaystyle x^{n}=0}$ 可得

${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\dots +x^{n-1}=1-x^{n}=1}$ 。

更一般地，在滿足交換律的情況下，可逆元與冪零元之和依然是一個可逆元。

一個域上的n階方陣是冪零元，當且僅當它的特徵多項式等於${\displaystyle t^{n}}$。

參見

• 環