應變協調性

應變協調性（英語：strain compatibility）在連續介質力學中是指使得物體的位移單值連續的應變張量所滿足的條件。應變協調是可積條件的特殊情況。1864年，法國力學家聖維南最早得到了線彈性體的協調條件。1886年，意大利數學家貝爾特拉米對此進行了嚴格證明。^[1]

無限小應變的協調條件

二維

對於二維無限小應變問題，其應變－位移關係為

${\displaystyle \varepsilon _{11}={\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}~;~~\varepsilon _{12}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right]~;~~\varepsilon _{22}={\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}}$

其所對應的協調條件為

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{11}}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{22}}{\partial x_{1}^{2}}}=0}$

三維

在三維問題中，共有六個條件需滿足。除了二維問題中的一個協調條件擴展為三個條件之外，另外三個協調條件的形式為

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{33}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}={\cfrac {\partial }{\partial x_{3}}}\left[{\cfrac {\partial \varepsilon _{23}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial \varepsilon _{31}}{\partial x_{2}}}-{\cfrac {\partial \varepsilon _{12}}{\partial x_{3}}}\right]}$

使用指標記號可以將所有六個條件合寫為^[2]

${\displaystyle e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}=0}$

其中${\displaystyle e_{ijk}}$為列維-奇維塔符號。使用張量符號則可以表示成

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {0}}}$

二階張量

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})~;~~R_{rs}:=e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}}$

被稱為不協調張量，即聖維南張量。

有限應變的協調條件

在有限應變理論中，協調條件為

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$

其中${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$為變形梯度張量。在笛卡爾坐標系中，該條件可表示為

${\displaystyle e_{ABC}~{\cfrac {\partial F_{iB}}{\partial X_{A}}}=0}$

該條件是從映射${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} ,t)}$得到的連續變形的必要條件，同時也是保證單連通物體應變協調的充分條件。

右柯西－格林變形張量的協調條件

右柯西－格林變形張量的協調條件為

${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$

其中${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$表示第二類克里斯托費爾符號，${\displaystyle R_{ijk}^{m}}$則表示黎曼－克里斯托費爾曲率張量。