康托爾空間

在數學中，以格奧爾格·康托爾命名的康托爾空間是對經典康托爾集的拓撲學抽象：即與康托爾集同胚的拓撲空間。在集合論中，拓撲空間2^ω也就是康托爾空間。

例子

康托爾集自身就組成康托爾空間不過，康托爾空間的一般標準例子是可數無限多個離散兩點空間{0, 1}的積，一般寫作${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$或2^ω（其中2表示離散拓撲中的2-元素集合{0,1}）。2^ω中的一個點是一個由0和1組成的無窮二進制序列，給定這樣一個序列a₀，a₁，a₂……，可以將其映射為實數

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n+1}}}}$

這個映射指出了從2^ω到康托爾集的同胚，表明2^ω是一個康托爾空間。

康托爾空間常見於實分析。例如，它們作為子空間存在於每個完美完備空間（要了解這一點，請注意在這樣的空間中，任何非空完美集都包含兩個直徑任意小的不交非空完美子集，因此我們可以模仿通常的康托爾集的構造。）。另外，每個可分不可數完全可度量空間都有康托爾空間作為其子空間。這包括實分析中的大多數常見空間。

特徵

布勞威爾定理給出了康托爾空間的拓撲特徵：^[1]

任意兩個無孤點、非空的緊豪斯多夫空間（有可數基，包含閉開集）都是互相同胚的。

具有由閉開集構成的基的拓撲空間，也稱為「零維空間」。布勞威爾定理可以重述為

拓撲空間是康托爾空間，當且僅當其非空、是完美集、是緊空間、是完全不連通空間、是可度量的。

該定理還通過Stone布爾代數表示定理等價於：任意兩個可數無原子布爾代數都同構。

性質

正如布勞威爾定理指出的那樣，康托爾空間可以以多種形式出現。但是，康托爾空間的許多性質都可以用2^ω確定，因為康托爾空間可以構造為它們的積。

康托爾空間有以下性質：

• 任何康托爾空間的勢是${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$，也就是連續統的勢。
• 兩個（直至任何有限個或可數個）康托爾空間的積仍然是康托爾空間。這一事實與康托爾函數一同，可以構造空間填充曲線。
• 當且僅當一個（非空）豪斯多夫拓撲空間是一個康托爾空間的連續像時，它是緊可度量空間。^[2][3][4]

令C(X)表示拓撲空間X上所有實值有界連續函數的空間；令K表示緊可度量空間，令Δ表示康托爾集。那麼康托爾集具有以下性質：

• C(K)與C(Δ)的一個閉子空間等距同構。^[5]

一般來說，這種同構性不唯一，因此並不是範疇論意義上的泛性質。

• 康托爾空間的所有同胚群都是單群。^[6]

另見

• 空間 (數學)
• 康托爾集
• 康托爾立方體