開普勒三角

開普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三邊之比等於${\displaystyle 1:{\sqrt {\phi }}:\phi }$，其中${\displaystyle \phi }$是黃金比，${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$.德國數學家及天文學家開普勒最早提出三邊滿足此比例的三角形。這種三角形將黃金比的性質與勾股定理巧妙地結合在了一起.

開普勒三角形

與代數的關係

給定兩個正實數a、b，若他們的算術平均數、幾何平均數、調和平均數能夠構成一個直角三角形，那麼這個直角三角形一定是開普勒三角形。

作開普勒三角形

開普勒三角形可通過尺規作圖法作出。方法是先作出黃金矩形。

通過黃金矩形，用尺規作圖作開普勒三角

1. 用尺規作圖法作一個正方形
2. 作出其中一邊的中點
3. 連接這一中點與與之相對的正方形的頂點
4. 以這一中點為圓心，已作出的線段的長為半徑作弧。並作出長方形的長邊。
5. 補全作出的黃金矩形
6. 以黃金矩形的一個頂點為圓心，一條長邊的長為半徑作弧交另一長邊於一點，連接該點與頂點，即作出了開普勒三角形。

數學巧合

正方形和圓的周長近似相等

若繪製一個三邊為${\displaystyle a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,}$的開普勒三角形，並且考慮

• 其外接圓
• 邊長等於${\displaystyle a{\sqrt {\varphi }}}$（三角形中數值介於中間的邊長）的正方形

則正方形的周長（${\displaystyle 4a{\sqrt {\varphi }}}$）和圓的周長（${\displaystyle a\pi \varphi }$）相當接近，誤差小於0.1%。

這是因為${\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}}$的數學巧合，上述的圓和正方形其周長不可能相同，若是相同，就可以求解化圓為方的不可能問題了。換句話說${\displaystyle \pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}}$，因為${\displaystyle \pi }$是超越數。

一些資料指出，埃及金字塔設計時有用到開普勒三角^[1][2]。不過古埃及人可能不知道有關${\displaystyle \pi }$和黃金比例${\displaystyle \varphi }$之間的數學巧合^[3]。